一、朱世杰的生平与代表作
朱世杰是中国古代数学全盛期最伟大的数学家之一,生平不详,河北人,生活于13世纪14世纪之间,字汉卿,号松庭。代表作是《四元玉鉴》和《算学启蒙》。
《四元玉鉴》是深入研究天元术的专著,分3卷,24门,288问。主要论述多元(最多四元)高次方程的解法,朱称四个未知数为天元,地元,人元,物元。今日我们可分别记成x,y,z,w。清代数学家称朱世杰“兼秦、李之所长”,秦即秦九韶,李指李冶;“超越乎秦李之上”,“《四元玉鉴》为诣极之书”。20世纪美国科学史家萨顿称朱世杰是“贯穿古今的一位最伟大的数学家”。“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。
《算学启蒙》则是一部优美的数学科普著作,数学家的启蒙教科书,全书亦分3卷,深入浅出地精彩陈述了259个数学问题的巧妙解法。赵元禛为《算学启蒙》作序曰:“燕山松庭朱君,管学九章,旁通诸术,出意编撰算书三卷,分二十门,立二百五十九问,细草备辞,置图折体训为《算学启蒙》,贯通古今,发明后学。明天地之变通,演阴阳之消长,能穷未明之明,克不解之解,索数隐微,莫过乎此,是书一出,为算法之标准,四方之学者归焉。”
《算学启蒙》出版后传入日本、朝鲜等国。在朝鲜,《算学启蒙》曾被李氏朝代规定为考官取仕的主要命题依据。20世纪初日本数学家三上义夫把《四元玉鉴》介绍到西方,20世纪70年代,新西兰籍华人数学家谢元祚发表了关于《四元玉鉴》的研究论文,且把此书翻译成法文在西欧发行。
二、《算学启蒙》与《四元玉鉴》中的堆垛、天元术与高阶等差级数
朱世杰在《算学启蒙》中研究了堆垛中引出的级数求和及高次方程求解问题。
例如,在《算学启蒙》卷下“堆积还原门”第一问题中曰:“今有茭草底五十四束,问积几何?”说的是把喂马的饲草捆儿堆成一垛,底层横放了54捆,垛顶上仅一捆,问共多少捆草。
这道题就是求从l到54这54个正整数之和(因为从顶向下看,每层比上一层多一捆)。
第四问:“今有三角垛果子,每面底子四十四个,问共积几何?”
所谓三角垛果子,是指顶层一个果子(西瓜、苹果之类),从上数第二层三个果子组成一个正三角形,每边两个果子;第三层六个果子组成一个正三角形,每边三个果子,等等,每个果子为半径一样的球,邻近的两球外切,见图21。
用数学归纳法容易证明
1+3+6+…+12n(n+1)=16n(n+1)(n+2)
依题意,此题中n=44,于是可算得结果为15180个。
朱世杰在《算学启蒙》一书中还讨论了堆垛的反问题,即已知堆垛中果子总数,求垛底边长(底边上几个果子)。
例如卷下“堆积还原门”第八问:
“今有茭草积一千四百八十五束,问底面几何?”
这是第一问的反问题,设底面x捆,则
12x(x+1)=1485
解此一元二次方程得x=54。
《四元玉鉴》中朱世杰研究了更复杂的堆垛问题,例如该书“果垛叠藏门”第三问:
“今有四角落一形果子,积五百四十个,问底子几何?”
上数第一层一个果子,第二层四个果子组成一个密集的正方形,第三层由九个果子组成一个密集的正方形,…,第n层用n×n个果子组成一个密集的正方形,把这n层叠成一个堆垛,再把这种所谓“四角果子垛”从小到大排成一横队,排头是底面长为1的四角果子堆,它只一个果子;第二垛的底面长为2,…,第n垛的底面长为n,这种堆垛队称为“撒星形”堆垛,此题的“撒星”即“四角落一形垛”。
不难看出,“四角落一形垛”的果子总数为
S=1+(1+4)+(1+4+9)+…+(1+4+9+…+n2)
用数学归纳法容易证明
S=112n(n+1)(n+2)(n+3)
设本题所求的最大一垛的底边长为x,则
112x(x+1)(x+2)(x+3)=540
x4+4x3+5x2+2x-6480=0
解得x=8,即此堆垛列中最大的一堆底面有8×8=64个果子。
朱世杰在《四元玉鉴》中解的高次方程次数最高的次数竟达10次,而且不能化成次数较低的方程来求解,可见当时朱世杰研究的天元术水平之不凡。
“堆垛叠藏门”第四问:
“今有三角岚峰形果子,积六百三十个,问底子几何?”
“三角岚峰形”是如下构成的:把一个果子的一垛放在第一列;把底边长2的两个三角垛放在第二列,把底边长3的三个三角垛放在第三列,等等,构成“前少后多,前低后高”的山岚重叠似的三角垛群体。
设此三角岚峰形堆垛中最大的一垛底边长为x,则
1×1+(1+3)×2+(1+3+6)×3+…+\[1+3+6+…+12x(x+1)\]x=630
用数学归纳法可以证明
1×1+(1+3)×2+(1+3+6)×3+…+\[1+3+6+…+12x(x+1)\]x
=1120x(x+1)(x+2)(x+3)(4x+1)
故得
1120x(x+1)(x+2)(x+3)(4x+1)=630
4x5+25x4+50x3+35x2+6x-75600=0
朱世杰解得x=5。
朱世杰在堆垛研究中,讨论了所谓高阶等差级数的问题,例如
1,1+3,1+3+6,…,16n(n+1)(n+2),…(甲)
1,1+4,1+4+9,…,1+4+9+…+n2,…(乙)
对于(甲)级数:
①a1=1,a2=1+3,a3=1+3+6,a4=1+3+6+10,a5=1+3+6+10+15…
②b1=a2-a1=3,b2=a3-a2=6,b3=a4-a3=10,b4=a5-a4=15,…
③c1=b2-b1=3,c2=b3-b2=4,c3=b4-b3=5,…
③成了等差级数,①称为三阶等差级数。
对于(乙)级数:
①a1=1,a2=1+4,a3=1+4+9,a4=1+4+9+16,a5=1+4+9+16+25…
②b1=a2-a1=4,b2=a3-a2=9,b3=a4-a3=16,b4=a5-a4=25,…
③c1=b2-b1=5,c2=b3-b2=7,c3=b4-b3=9,…
③成了等差级数,①称为三阶等差级数。
朱世杰把堆垛问题与天元术有机结合,级数求和及其逆运算操作自如。堆垛秀美,天元有术。《算学启蒙》与《四元玉鉴》实乃数学著作中的极品。