刘徽是中国数学史上最伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最可宝贵的数学遗产，也是世界数学史不可多得的重要典籍。刘徽以其杰出的数学思想和创造性的数学成刘徽就，丰富了中国数学的内容，从而使他成为中国古代数学理论的主要奠基者。
刘徽的数学思想
《九章算术注》中刘徽自序说：“徽幼习九章，长更详览。观阴阳之割裂，总算之根源，探颐之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也，当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”
我们所以要将刘徽《九章算术注》自序中的这一大段168个汉字抄录下来，是因为再没有比这段文字更能表达刘徽的数学思想了。这168个汉字清楚地表达了刘徽学习数学的过程；对数学的总体看法；研究数学所应采取的方法；对数学本质的认识；数学知识来源；以及刘徽那时候的数学研究状况。整段叙述毫无遮遮盖盖、故弄玄虚之处。反映了刘徽对中国古代数学的透彻理解，以及研究数学所采取的正确方法。
刘徽认为数学不是干巴巴的教条，也不是杂乱无章没有联系的各类事物的堆积，而是“事类相推，各有攸（所）归”，“枝条虽分而同本榦（干）”，数学充满着联系，更有着联系的规律。这种联系和规律就是数学的本质，抓住了这个本质，也就能“知发其一端而已”。关于数学的作用，刘徽也持有正确的认识。他认为数学“虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方”，把数学作为认识事物的有效工具。这种认识比他后来的数学家要先进得多，如《孙子算经》序言中说：“夫算者，天地之经纬，群生之元首，五常之本末，阴阳之父母，星辰之建号，三光之表里，五行之准平，四时之终始，万物之祖宗，六艺之纲纪。”简直把数学看成从精神到物质的一切事物的本质，陷入了唯心主义的泥坑。
刘徽不仅在他的自序中表达了他的数学思想，而且将这种思想具体地贯彻在他的数学研究中，作出了许多卓越的成就。
刘徽的数学成就
刘徽的数学成就极其丰富，归纳起来集中在三个方面：把《九章算术》中各个孤立的算法加以整理，并给予理论阐发；在修正和证明《九章算术》中的方法的同时，创立新的方法，表达新的思想；独立著书立说，创造系统的重差理论。下面，我们就这三个方面概括介绍刘徽的数学成就。
1.整理和阐发
刘徽主张“事类相推各有攸归。”《九章算术》中的方法甚多而且分散，但不少方法出自同一个思想系统，适当加以整理和阐发势必能实现理论上的升华，提高《九章算术》的学术水平。为此刘徽着重对齐同术、今有术、割补术、棋验术等四种数学方法进行了理论重建。
齐同术 原先是一种通分的方法。因为通分运算包括“齐”与“同”两个方面：先求公分母，所谓同然后分子与分母扩大相同的倍数，所谓齐。如刘徽所说的“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。”母同子齐，分数才能相加。然后，刘徽认为齐同术的本质不是通分，而是一种“不失本率”的变形规则。率是中国古代数学中的一个十分重要的核心概念。刘徽给“率”下定义说“凡数相与者谓之率。”当若干个数发生了相与关系的时候也就产生了率。“相与”，相关、相联的意思。例如，分子分母相与，就产生了一个率，即分数。采用齐同术，分子与分母扩大了相同的倍数，数变了，但本率不变，所以它是一种“不失本率”的变形。
刘徽正是看到了齐同术的这一本质特征，从而赋予了它更普遍的意义，使它成为中国古代数学中处理算率问题，如分数通分、比率算法、盈不足术和“方程术”等的理论基础，用于解释这类算法的合理性。
譬如刘徽在解释用直除法解“方程”其合理性时，就明确地指出，将某行乘以一个数后去减另一行的先“偏乘”后“直除”的做法，其合理性就在于“齐同之意”。例如，《九章算术》方程第7题：“今有牛五，羊二，值金十两。牛二、羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”按“方程术”，列出“方程”如下：
为先消去（b）行中的第一个数，刘徽采用了（b）×5-（a）×2的做法。刘徽说，这个做法的依据就是“齐同术”，因为“方程”的每行仍是一组率，采取（b）×5和（a）×2的运算是为了求同（10）而使率齐，因此方程术中的“偏乘直除”与“互乘相消”就是率的“齐同”。“互乘相消”法是刘徽根据齐同的原则创造的，它比“偏乘直除”更体现“齐同之意”。
按刘徽的解释“……因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也。”因为数相与总成率，所以只要找出问题中各数的比率关系，分清其中的所有数，所求率和所有率，并在各数之间参差不齐和偏颇不平的时候，先用“齐同以通之”，那么没有一个问题不可以用它来解决。
这话是有道理的，因为率的概念与理论几乎贯穿于《九章算术》的全部篇章中，以分数算法为主的方田章；以比例算法为主的粟米章、衰分章、均输章显然都离不开“率”和比率关系；即使盈不足、方程、勾股各章的算法也都是建立在率的理论基础上；需要运用比率关系来求解。如勾股章里勾股测量问题，因其需要利用相似勾股形的对应边成比例关系，因此完全可以用“今有术”来解决。刘徽正是注意到了这一点，才能在理论上给今有术以突出的地位，并将《九章算术》中的比率理论，在今有术的统帅下得到系统的整理。
《九章算术》中的比率理论割补术《九章算术》载录了一系列直线图形以及圆、圆环、弓形等的面积公式，除了圆和圆环因取π=3只能得出面积近似值，弓形面积公式尚属疏陋外，所有直线图形的面积公式都是正确的。但是这些公式，《九章算术》都未给出必要的证明，是刘徽用割补术系统地证明了这些公式。所谓割补术，是用割补的办法将所求的图形拼成与之等积的长方形，然后按长方形的面积算法来推证所求图形的面积。割补术不是刘徽首先使用的，但刘徽用得最为系统、彻底，刘徽的割补术代表了中国古代数学中几何论证的基本形式。
刘徽在《九章算术注》中所作的割补术证明可列表说明。
刘徽的数学创造主要有：割圆术、刘祖原理、十进分数等，另外，在解“方程”和求立体体积方面也有创造性成就。
割圆术 它是刘徽最大的数学创造。这一创造开辟了中国数学发展中圆周率研究的新纪元。
所谓割圆术是指不断扩大圆内接正多边形的边数，用正多边形的面积来近似地计算圆面积的方法。在刘徽之前，包括《九章算术》在内，常以3作为圆周率，即所谓古率“周三径一”。刘徽首先指出这是很不精确的。因为与这个圆周率值相对应的是圆内接正六边形而不是圆。正六边形与圆之间存在相当大的差距。为求得更精确的圆周率就必须采取不断扩大圆内接正多边形的办法。边数扩大得越多，所得的正多边形与圆的差距就越小，即刘徽所谓的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”
利用割圆术，刘徽修正了《九章算术》中的弓形公式。
刘祖原理 即西方所说的卡互列利原理。其实，这个原理最早予以应用的是刘徽，而最先予以明确表述的是祖冲之之子祖暅；所以中国数学史上常称其为刘祖原理；刘祖原理是应用不可分量求出面积和体积的理论基础，在微积分发展史上具有重要影响。中国数学虽然没有由此而导向微积分的产生，但刘徽和祖暅等人利用这个原理求立体体积的做法也是有着世界影响的。
是刘徽的一部关于测高望远之术的专著，原题为《重差》，刘徽把它作为《九章算术注》的第十卷。唐朝初年，这一卷被作为单篇刊出，题名为《海岛算经》，列入“算经十书”之一。
“重差术”是西汉天文学家提出的一种测量太阳高、远的方法。刘徽自序说，“凡望极高，测绝深而兼知其远者必用，勾股则必以重差为率，故曰重差也。”这段话不太好理解。其意思大致有二个：其一，重差是测量极高绝深目标的一种方法；其二，重差与比率理论密切相关，其基础是勾股形之间的相似关系。正确地应用重差术，可以有效地扩大其应用范围。对此刘徽自选了九个问题，详细地作了介绍。
第一题是一个测量海岛的问题，海岛算经即由此得名。
“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，与表末参合。问岛高及去表各几何？”
相多按刘徽的解法是：“术曰：以表高乘表间为实，相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实。相多为法，除之，得岛去表里数。”
传本《海岛算经》所载九题只有方法、结果而无对所用方法正确性的证明。按刘徽自序，有“析理以辞，解体用图”以及“辄造重差，并为注解”等语，说明原著应有注解图的。我国著名数学家、数学史学家吴文俊对《海岛算经》进行了古证探源工作，得出了很有说服力的见解，成为近年来中国数学史研究的一大硕果。《海岛算经》以第l题的重差法第3题的连索法和第4题的累距法为测量高深广远的三个基本方法。此外的例题是在用基本方法所得的结果上转求其他目的的问题。