图的明确条件；说它漂亮，因为它的条件非常简单，对于任何一张“河—桥”
图，只要很短的一两分钟就可以作出准确的判断。
柯尼斯堡七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足，而对于欧拉来说，这仅仅是个良好的开端。发现一块矿石可能意味着藏有巨大的宝藏。经过精心的开掘，欧拉果然发现了一个只需要考虑位置的关系和性质的全新的数学领域拓扑学（拓扑学是研究图形在双方单值连续变换下不变性质的几何学），建立起了网络的概念并推导出拓扑学中非常有价值的重要关系式。
拓扑学在近代有了重大发展，它已经渗透到数学的各个分支，获得了非常广泛的应用。比如，安排运输路线或邮递路线就需要考虑这样的问题：如何把货物或邮件送到指定的地点而又不走回头路。
欧拉难能可贵的优秀品质表现在不嫌弃平凡的工作，并且善于从平凡的工作中发现不平凡的内容。在欧拉琳琅满目、美不胜收的创作宝库里，珍藏着他为柯尼斯堡七桥、国际象棋中骑士的跳步等一类数学游戏所写的大量光彩照人的作品。
正当这位从巴塞尔城来的年轻数学家以神话般的速度在数学的各个领域里一篇接一篇地发表他的独具匠心的论文的时候，欧拉遇到了他一生中又一次重大的挫折：他的右眼突然失明了。
当时正是欧拉决心赢得一项关于天文学问题的巴黎大奖的时候。天文学中彗星轨道的计算历来是数理天文学中的一个大难题，因为它牵涉到两个或两个以上的星体之间的关系。没有计算机的帮助，要想得到比较精确的结果，即使是一位极具才能的数学家，一般也要花好几个月的辛勤劳动。为了吸引更多科学家们的兴趣，1739年，法国巴黎科学院特别为这一课题设置了巨额奖金，征求解答。欧拉决定在这个领域中施展一下他超群的计算才能。他对通常采用的方法进行了一系列重大的改进。尽管这样，计算仍是十分困难。可是一旦开始工作，让欧拉中途停下来是不可能的。他在书房之中着迷似的干了起来。饿了就啃几口面包，困了就靠在椅背上迷糊一会儿。凯塞琳娜看着丈夫这样不顾一切地工作，只有干着急，爱莫能助。虽说进展神速，但等他计算出彗星的运行轨道的时候，时光已经不知不觉地过去了三天。晨曦透过窗帘悄悄报告着新的工作日的来临。欧拉的眼睛里布满了血丝，头昏沉沉的，身体疲惫不堪。他轻轻阖上刚刚写好的论文，随手推开窗户，张开双臂伸了个懒腰。突然，欧拉的眼前一片发黑，他一头栽倒在地！他在床上整整躺了一个星期。病后，他的右眼完全失明了。
在计算方法方面，无疑从来没有人超过欧拉，甚至连比较接近他的人也不容易找到，或许雅可比应该除外。算法专家就是为解决特殊类型的问题而设计计算方法的数学家。举一个很简单的例子，我们假设（或证明）每一个正实数都有一个真正的平方根，如何去计算这个根呢？有许多已知的方法可以计算，而算法专家则设计实际可行的方法。再举一个例子，在丢番图分析，也在积分学当中，一个问题的解答可能不是现成的，要用其他变量的函数关系做一些巧妙的（通常是简单的）代换，一个算法专家就是能自然地想到这种代换的数学家。想出代换的过程没有统一的方法，算法专家就像机敏的打油诗人一样，是天生的，而不是造就的。
看不起“纯粹的”算法专家的情况在今天是很流行的。然而，当一个像印度的罗摩拏阇那样的真正的数学家从不知道的什么地方突然冒出来的时候，就连分析专家们也都会把他当作从天而降的天才而向他欢呼：对于表面上无关的各种公式，他那几乎是以超自然洞察力揭示了从一个领域通向另一个领域的隐秘的线索，这就为分析学者们提供了弄清这个线索的新任务。一个算法专家其实是一个“形式主义者”，他为这些公式的美丽而热爱这些美丽的公式。欧拉就是其中的佼佼者。
在柏林的经历
1740年，普鲁士国王腓特烈大帝（1712—1786年）在柏林登基。腓特烈身材矮小，可是野心勃勃。他自称是“欧洲最伟大的国王”，要励精图治，使普鲁士在各个方面都雄踞欧洲之首。柏林科学院的现状使他非常失望，由于缺乏称职的领导人，科学院死气沉沉，最多只能在欧洲充当二三流的角色。
而此时的彼得堡科学院却是另一番景象。在欧拉的领导下，那里人才辈出，成果累累，呈现出一派蓬蓬勃勃的生机与活力。因此，当腓特烈打听到欧拉在俄国生活非常苦闷的消息以后，大喜过望。他立刻向欧拉发出盛情的邀请函，请他到柏林科学院来主持工作。
此时的俄国，安娜女皇去世，俄国政府变得更为开明，但是欧拉已经厌倦了在这里的生活，他非常高兴地接受了腓特烈大帝请他做柏林科学院院士的邀请。
腓特烈大帝的王宫金碧辉煌。风尘仆仆的欧拉一身便装前来谒见腓特烈。腓特烈见新来的数学家身着皱皱巴巴的西服，围着一条发黄的旧丝围巾，连礼帽也没有戴，心里非常不高兴。这无异是对“欧洲最伟大的国王”不可容忍的怠慢。他爱搭不理地敷衍了欧拉几句后就拂袖而去。和国王貌合神离的王后倒是十分喜欢欧拉。她看到欧拉的打扮和风度与众不同，很想同他好好聊聊。可是，欧拉在俄国几乎与世隔绝地沉默了10多年，他担心王后连珠炮似的问话是不是别有用心。
“您为什么不愿意和我讲话呢？”王后不解地问欧拉。
“王后陛下”，欧拉回答说，“我是从那样的一个国家来的，在那里，要是谁爱多讲话，谁就会被吊死。”
欧拉的心思没有在宫廷不愉快的谈话上，他的心早已经被一大堆数学问题所占据，已经容不下其他琐事了。这些日子以来他一直在认真地考虑，如何对17世纪中最伟大的发明微积分作系列的介绍。因为自从牛顿和莱布尼兹建立起微积分以来，它在物理学、天文学、航海学以及工程学等广大领域里已经显示出无比的威力，并且由此产生了一系列新的分支，如微分方程、无穷级数、变分法、函数论等，迅速形成了一个数学中最庞大、最重要的分支数学分析。数学家们热衷于分析这些新分支的发展，但是要想做到这一步，首先必须扩展微积分本身。牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法，可是从它的逻辑基础到实际应用还有大量的问题有待解决，而为了让更多的人掌握分析的武器，还需要扫除从初等代数过渡到微积分的重重障碍。欧拉决心肩负起这项艰巨而有意义的任务。在当时健在的数学家中，的确没有谁比他更适合干这项工作的了。不久，闻名遐迩的杰作《无穷小分析引论》和《微分学原理》先后问世。连同他后来在彼得堡出版的《积分学原理》，它们都是分析学中里程碑式的经典著作，为鼓舞和造就一批批有才华的青年成为伟大的数学家建立了不朽的业绩。先有拉格朗日、拉普拉斯，后有高斯、柯西、黎曼等等，这些大数学家都是在欧拉著作的指引下迈进庄严的数学殿堂的。甚至在今天大学课程里的某些内容，实际上仍然和200多年前欧拉留下来的一样。欧拉在分析学中所表现出的高深的造诣和超凡的技巧立刻博得了“分析学的化身”的美誉。
欧拉在柏林完成了关于数论的大部分工作。17世纪的大数学家费马生前提出的大量重要而有趣的命题，到今天为止，世界上还没有人能够把它们全部证明出来，唯有欧拉证明了其中的大部分。不仅如此，许多命题他还进一步加以引申和推广，特别是在1745年前后，他发现了18世纪数论中最重要的定理——二次互反律，这是一项极其了不起的成就。后来的数学家们为探求它的含义引申出大量极有价值的成果。
然而，在柏林期间，欧拉最杰出的成就是关于变分法的工作。
约翰·伯努利的难题在提出以后的第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯努利以及约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只做到这里为止了。在约翰·伯努利的建议下，欧拉在1728年开始涉足这个十分艰难的领域。他以研究曲面（主要是地球）上的测地线问题着手，也就是连接曲面上（地球表面上）的两点，什么样的曲线距离最短？欧拉很快就找到了答案。
过了没多长时间，他又把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦力和空气阻力的问题。
接着，他又致力于寻找解决这类问题的更简便的方法。经过前后16年的不懈努力，他终于获得了成功。虽然他所采用的是分析和几何相结合的方法，而不是用纯分析的方法，论证过程十分复杂，但是最后的结果却同样简单而且优美，有广泛的应用价值。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书在柏林正式出版。这部杰作立刻使他被公认为当时最伟大的数学家。这本书的出版预示着变分法作为一个新的数学分支诞生了。
但是谁又曾想到，欧拉在柏林的生活甚至比在彼得堡的时候还要难受。说来也不奇怪，一群大臣贵族整天围着腓特烈转，令人作呕的歌功颂德和阿谀奉承早已使他飘飘然了。而质朴的欧拉一不会吹牛，二不会拍马，在腓特烈面前不卑不亢，直言不讳，岂能不遭白眼？虽然腓特烈以科学的保护人自居，可是他并不懂数学，也不喜欢数学，更看不上“直愣愣”的欧拉，他甚至公然奚落欧拉是“独眼龙”。
欧拉不会机智地避开关于哲学问题的辩论也使他自己吃了苦头。