75.正方体的羊圈
欧拉是数学史上着名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。
事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”
欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。
在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。
父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
76.重力的妙用
有人说，引力是一个最大的向下拉的力，这种说法对吗？不对。引力不仅可以向下拉，也可以向两边拉，甚至可以向上拉，比如太阳对地球的吸引力就不是向下拉。
引力是两个物体之间的相互作用力，当只有引力起作用的时候，较小的物体被吸引向较大的物体。人们之所以认为引力的方向朝下，是因为大家早已习惯了巨大的地球对我们身体的吸引，而这个力我们一般把它叫做重力。重力发生作用有一个十分奇妙的方式：一个物体的所有重量似乎都集中在一个中心点上。如果一个物体有一个支撑基座，这个物体的重心必须正好落在基座上，否则物体就会翻倒。当物体呈规则形状时，象地球，我们很容易找到它的重心，这个重心就是它的几何中心；小孩子玩跷跷板时，跷跷板在它的几何中心处于平衡状态，这个几何中心就是它的重心。但是，形状不规则的物体，如人体，它的重心和几何中心就不一定重合。
人体的重心是可以移动的，如运动员滑雪时，他就是不断地改变自身的重心来保持身体平衡的。
你能拾起放在你面前的一枚硬币吗？两腿并拢，脚跟靠墙站着，在你脚前33厘米远的地上放一枚硬币，你能脚不动膝盖不弯拾起这枚硬币吗？怎么样？我想你是没法拾起这近在尺尺的硬币的。这是什么缘故呢？当你靠墙站直时，身体的重心就在你的双腿以上，当身体向前倾斜时，重心也就跟着向前移动。为了保持身体的平衡，你的腿必须向前迈，否则人就会跌倒。但是游戏规则规定了不能迈腿，你只能眼睁睁地望着唾手可得的东西而无法把它拿到手。如果你求胜心切，一定要设法拾起这枚硬币，那就非摔个嘴啃泥不可。
77.不勾在一起的两枚曲别针
拿一张一元钱的钞票和两枚曲别针，把钞票卷成S形。用曲别针短的那一头别住两层钞票，再用另一枚曲别针按同样的方法别住钞票的另一头。准备好了之后，两手分别抓住卷成S形的钞票的两头，迅速把钞票拉直，两枚曲别针就会飞到空中自动勾在一起。
虽然原来钞票上的两枚曲别针并没有挨着，但钞票拉直后它们都奇妙地勾在一起了。这个现象在拓扑学上叫做曲线转移。原来那一元钱的钞票叠成的弧形，被拉直时，转移到曲别针上了。
如果你想把曲别针勾在一起的秘密弄个明白，你可以慢慢地把那一元钱的钞票拉直，也许会看出其中的奥妙。慢慢拉有时也能让曲别针勾在一起，但也有时勾不在一起。所以要想和别人玩这个游戏，一定得快拉。
78.铅笔与腰带
这个游戏，几百年来迷惑了不少人，今天你要是玩这个游戏，可能还会有人与你打赌的。游戏看起来很简单，而它的原理却运用了拓扑学。找一条内外两面颜色相同的腰带，把腰带内面向里对折。拿住对折处把它盘起来，盘起来的腰带当中呈一个S形，内面形成一个S形，外面形成另一个S形。在腰带内面的S形当中插上一支铅笔，用一手抓住腰带的两端一拉，盘起来的腰带松开了，而铅笔仍然套在当中，现在你可以用魔术师的口气对观众说：
“谁能象我刚才那样，使腰带套住铅笔吗？”尽管你已经给大家作了示范表演，别人无论把铅笔插在哪里，盘起来的腰带拉直后，是无法套住铅笔的，铅笔总是跑到外面去了。下面就是这个游戏的窍门：
1．假如别人把铅笔插到腰带外面的S中间，那你尽管抓好腰带的末端，腰带一松开，铅笔就出来了。
2．假如别人把铅笔插到腰带内面的S中间，你就得把腰带的一端朝腰带原来卷紧的相反方向绕一圈，再抓住两头一拉，铅笔就自然地脱离圈套了。因为当腰带一端向相反方向转一圈时，原来朝里的一面，就变为朝外了，套住的铅笔自然就会脱出来了。
注意：碰到第二种情况时，就装着把腰带绕紧，否则人家会看出破绽。腰带用两面颜色一样的，就是这个原因（为了区分正反面，可把图画成两种不同颜色）。
79.一张纸剪成两张
找一张旧报纸，用剪刀把报纸剪出一张5厘米宽的纸条，把纸条的一头翻个面，然后和另一头粘在一起，形成一个扭曲的纸圈。沿着5厘米宽的纸圈的中心线把纸圈剪开，你能剪出两个纸圈吗？剪完一圈，你会发现纸圈还是一个，不过比原纸圈长了一倍。这是什么原因呢？原来，这种扭曲的纸圈有一个奇妙的特点，它只有一个面，也就是没有正反面。这是千真万确的，不信你自己做一个这样的纸圈，用铅笔在纸上画线，铅笔划过整个纸圈后，又回到了它原来的出发点，这种纸圈在拓扑学上叫摩比乌斯环。
换个地方剪，你能剪出和上面一样的纸圈吗？还是按上面说过的方法做一个摩比乌斯环，用剪刀从靠纸边上三分之一的地方剪开。从头剪到尾，一直保持离纸边相同的距离。
80.数学随机现象
在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。
另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。
在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。
随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。
我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
81.生活中的平移和旋转
平移现象：拉抽屉、从抽屉中拿出书本、火箭升空、行进中的自行车、行驶的汽车、升降国旗、火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、滑滑梯、推车。
旋转现象：行进中的自行车轮胎、行驶的汽车轮胎、旋转木马、大风车、大观缆车。
生活中的锐角和钝角：（1）房屋的房脊一般属于等边三角形，顶上一个钝角，底下两个锐角；（2）六边形的花盆每个角均为180度钝角；（3）三角凳各腿之间的夹角60度锐角；（4）红领巾是三角形的，有一个大角，两个小角，大角是钝角，小角是锐角。（5）躺椅是钝角；（6）世界着名的金字塔、比萨斜塔；（7）钟表上1：30的时针和分针组成的角是钝角，1：15的时针和分针组成的角是锐角。
82.“负数”是数吗
对大家现在来说，这已不成问题，而在人类的认识过程中却经历了漫长的时期。
从数学发展史看，在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位——距今大约2000年以前，就已经认识了负数，规定了表示负数的方法，指出了负数的实际意义，并进一步在解方程中运用正负数的运算。
在国外，印度大约在公元七世纪才开始认识负数。在欧洲，直到十二、三世纪才有负数，但这时的西方数学家并不欢迎它，甚至许多人都说负数不是数。