94.生活无处不在的数学
当你赶到公交车站，看见要坐的那趟车刚刚离站，常常会很沮丧：太糟糕了，错过了最近的一班车。如果到站时没看见汽车离站，你会怎么想呢？上一班车开走了，下一班说不定马上就到。
日常生活中常有这样的情况：等了很久都没来车，忽然一下来了两三辆。认为等车是运气问题，但数学家不这么看，他们给出了大家从未想到过的答案。
公交车为什么会会合？即使公交车每隔15分钟准时开出车库，乘客到达车站的稀密程度却是不一样的。某个站点忽然会有大量乘客聚集，他们须买票或者刷卡才能上车，这就使遇到这一情况的公交车慢了下来，从而使下一站集合了更多的乘客。同时，后一辆车更接近前车，因为两车之间的候车时间减少，后车揽到的乘客少了，行驶速度加快。结果，要么是后车赶上前车，要么两车同时到站。
假定公交车每15分钟从车库驶出一辆，到达你所在的车站时3车会合，每辆车前后相差一分钟。你知道自己平均等车的时间是多少吗？
按照数学家的计算，如果你看见一辆车刚刚驶离，也许它是第一辆或第二辆，那么你的等候时间只是一分钟，如果是第三辆，则你需要等43分钟。这意味着，下一辆车到来前，你的平均等候时间是(1+1+43)／3=15分钟。而如果你到站时，没看见公交车，意味着你是在两辆车中间的间隔到达的，你等待的时间也许是不到一分钟，但更大的可能是43分钟，这样算下来，你必须等候的平均时间是(43+0)／2=21.5分钟。也就是说，如果你看不到一辆车驶离车站，你实际花费的等车时间会更长。
95.鞋袜谁先
教室在美丽的杏树林子里，旁边有一条小溪弯弯曲曲地流过，溪水又清又浅，河滩上还有不少大大小小的鹅卵石，大的足有半立方米，小的则只能用立方厘米来计量。石头缝和小水洼是螃蟹和小鱼小虾们的天堂，如果你翻开那些小的鹅卵石，常常会看到有一只小螃蟹一边挥舞着两把小钳子，一边慌慌张张地钻到另外一块石头下边去了。当然，你要真欺负它们的话，它们的脾气也是蛮大的，有一次冉有就被一只被打扰了的螃蟹夹住了手指，疼得哇哇叫。
不用说，这条小溪是同学们最喜欢的地方，而孔老师看到溪水很浅，也就放心地让同学们在下了课后到溪边玩，特别是夏天的傍晚，大伙儿总是喜欢在溪边走一走。今天下午的学习结束后，我们刚到溪边，孔老师也跟上来了。
看起来，他今天兴致很高，一到岸边，就向同学们提议说：“我们到浅水里走走吧？”
同学们不由得都欢呼起来：“好呀！”和孔老师一起玩水还是第一次呢！
就听孔老师指挥着：“来，别急，一步一步来，先脱了鞋。”于是乎，肥肥瘦瘦的鞋子一双又一双地摆好了。“再脱掉袜子。”或洁白如雪或灰不溜秋的袜子一双又一双很快搁在了鞋子上，整整齐齐地在岸上摆着。
大伙儿或两人对打水仗，或是合作掏螃蟹的老窝，也有的在溪边仔细找着好看的石头，不管做什么，个个都玩得很开心。
不知不觉，天色有些暗了。孔老师在岸上招呼着：“好了，准备回家了，快上来吧！”大伙儿一看：“咦，孔老师什么时候都上岸去了？真是神不知鬼不觉呀！”
毕竟已玩得尽兴，听到命令也就纷纷上岸了。找到各自的鞋袜，在旁边石头上坐下，拿起袜子正要穿上。孔老师大大咧咧地坐在旁边的大石头上，摆摆手让大家先停下来。他说：“先别急着穿，这是一个研究的好机会呢，你们想过关于穿鞋和穿袜的道理吗？”
“穿鞋子和袜子还有什么学问吗？”同学们都疑惑了。
孔老师意味深长地看着我们，呵呵笑了起来，笑容中似乎充满了智慧，他说：“想一想，刚才你们下水的时候，是先脱什么？”
子路不假思索地说：“鞋子呀，怎么了，这不是很正常吗？”
孔老师接着说：“先脱鞋子，是很正常。现在呢？也先穿上鞋子，行吗？”
“啊？那怎么行？穿了鞋子，袜子怎么穿呢？”同学们一想孔老师说的情形，都哈哈笑了起来。
孔老师没有笑，而是紧跟着问了一句：“先脱鞋子，再脱袜子。反过来，就先穿鞋子，再穿袜子嘛，怎么不行？”
“当然不行了，”子路哈哈大笑着说：“先穿上鞋子，怎么能再穿袜子了？难道把袜子套在鞋子外面？那不是撑破了吗？”
“对了，你们知道吗？这里面正有一个重要的数学道理呢。请看！”孔老师顺手折了根树枝，在沙滩上划起来：
岸上→脱（鞋子）→脱（袜子）→水中
“那么反过来应该怎样呢？”他从右往左继续写着：
岸上←穿（鞋子）←穿（袜子）←水中
孔老师一写完，就期待地看着我们，似乎在等一群人发现些什么。
子路一拍手说：“我知道了，为什么不能先穿鞋子呢？因为刚才先穿的东西，现在就要后脱，后穿的要先脱。也就是说，不但穿和脱这样的动作要反过来，连做事情的先后顺序也要反过来。”
“对呀，子路把生活中的道理说得很准确。那么想一想，在解决数学问题时我们是不是都注意到这点了呢？比如说这样的问题：
哥哥和弟弟俩制作竹简，哥哥制作的数量比弟弟的2倍还多16根。如果弟弟制作了30根，那么哥哥制作了多少根？”
孔老师随口就说出一道数学题来。
有同学举手说：“我觉得要先找出哥哥和弟弟之间的数量关系，就是……”他接过孔老师递过来的树枝，也在沙滩上划起来：
弟弟根数×2＋16＝哥哥根数
“那么30×2＋16＝76（根）。”他把枝条一放，说：“哥哥76根。”
“对，如果哥哥和弟弟间的数量关系不变，但是现在知道哥哥制作了76根，怎么求弟弟制作了多少根呢？”
子路抢着说：“就是刚才的题目反过来嘛。这回我来！”他在沙滩上划起来：76÷2－16＝38－16＝22（根）
没等他得意，宰予抢着说了一句：“这和刚才的数量不对哦，弟弟应该是30根呢。”子路也注意到了：“对呀，怎么少了？”
孔老师笑咪咪地说：“你想想吧。”他拿过树枝，在“弟弟根数×2＋16＝哥哥根数”的“×2”和“＋16”下面画了两个“←”，又在“哥哥根数”上画了个圈，问：“从哥哥根数求弟弟根数，是要反过来的不假，但是你看清楚了应该怎么反吗？”
宰予的反应一向是班上最快的，他对子路说：“你刚才在说鞋子和袜子的道理时，不是很明白吗？怎么现在又糊涂了？”
子路恍然大悟，说：“原来孔老师说到鞋子和袜子是这个意思呀！我明白了，应当是这样列式：（76－16）÷2＝60÷2＝30（根）。”他长出了一口气，说：“总算对了！看来数学上的许多道理，其实同样是可以用在生活中的呢。”
宰予接着说：“也可以说，在生活中，也包含着许多数学上的道理呢。像穿和脱这两个动作，其实不就和数学上的乘和除一样吗，相生相反。”
孔老师点点头，说：“对！许多人在解决这种逆向的数学问题时，只注意到运算方法要反过来，例如加要变成减，乘要变成除。但是，却没有注意到顺序也要反过来的，刚才先运算的，反过来应当后运算，后运算的，反过来应当先运算。这就像我们出门时先穿袜子，再穿鞋子，回家时却要先脱鞋子，后脱袜子一样。”
96.晶体——自然界的多面体
从古代起，多面体出现在数学着作中，然而，它们的起源却是那样的古老，几乎可以与自然界自身的起源联系在一起。
晶体常常生长成多面体形状。例如，氯酸钠的晶体呈现为立方体和四面体的形状；铬矾晶体有着八面体的形状。令人迷惑不解的是，在一种海洋微生物放射虫类的骨骼结构中，居然也出现十二面体和二十面体的晶状体。
如果多面体是这样的，它的所有面都相等，而且这些面的角也全相等，那么这个多面体就称为正多面体。一个正多面体的所有面都一样，所有边都相等，而所有角也全都相等。多面体有着无数种类型，但正多面体却只有五种。正多面体也称柏拉图体，柏拉图约于公元前400年独立发现了它，后人为此予以命名．然而正多面体的存在，人们早在毕达哥拉斯之前就已知道。埃及人甚至把它们中的某些，用在蔚为壮观的建筑和其他物件中。
97.抛物线反射镜和汽车前灯
你知道吗？当把汽车的前灯开关从亮转到暗时，就有数学在起作用。具体地说，是抛物线原理在玩花招。
如果你留心会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状。事实上，它们是抛物面。明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点上的光源产生的。
因此，光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出。当光变暗时，光源改变了位置。它不再在焦点上，结果光线的行进不与轴平行。现在近光只向上下射出。向上射出的被屏蔽，所以只有向下射出的近光，射到比远光所射的距离短的地方。
抛物线是一种古老的曲线，它是梅内克缪斯在试图解决用尺规作出体积为给定立方体两倍的立方体时发现的。
多少世纪以来，人类已经得到了有关抛物线的一些新的用途和发现。例如，伽利略证明抛射体的路线是抛物线。今天人们可以到五金店去买一台高能效抛物线电热器，它只用1000瓦，但是与用1500瓦的电热器产生同样多的热量。
98.老木匠算半径的奇妙方法
一天，闲得无事，就在老家邻近的院子逛逛，恰好碰到一位老木匠（这位老木匠是本村的，我们都认识）在给一人家做木货。我们相互打了招呼。随后，老木匠用卷尺量一个木桶的底，量得周长为4尺。老木匠说：“吴老师，你是一位老师，我出个问题给你算算，刚才这只木桶的半径是多少寸？”我一时语塞，说：“老师傅，一时用口算算不出来。”
紧接着老木匠就一口报出底面半径约等于6寸4，我听到老木匠报出木桶的底面半径，一时很吃惊。
我在心里用公式C=2πr检验老木工的计算结果，感到很困难，就用纸笔检验：r=（C/2π）≈（40寸/2×3.14）≈6.37寸≈6.4寸。
结果与老木匠的结果只相差那么一点点，而老木匠的计算方法是多么的快，又是多么的准确。
这时，我兴趣更浓，请老木匠说说他的计算方法。老木匠说：“就六个字：尺变寸，加六成。”原来老木匠的计算方法是这样：四尺变四寸，四六得二寸四（即4寸×0.6=2.4寸），共4寸+2.4寸=6.4寸。
随后，我又举了一例：如果圆周长为3尺，用老木匠的算法是：三尺变三寸（尺变寸），三六一寸八，共得3+1.8=4.8（寸）。
用公式C=2πr检验：r=（C/2π）≈（30寸/2×3.14）≈4.78寸≈4.8寸。
结果相差无几。这是为什么呢？
回到家里，我对“尺变寸，加六成”的算法进行了一番研究：
设圆周长为C，半径为r，用代数式来表示这种算法是：
r=（C/10）+0.6×（C/10）=16C/100，π=C/2×（16C/100）=3.125。
原来，老木匠把圆周率π当作3.125，尽管有误差，但算法简便，在估计半径时很实用。
99.为什么平年二月只有28天
“年、月、日”的计算方法是由古代罗马教皇儒喀？恺撒创立的。他在修改太阳历时规定每年有12个月，单月31日，双月30日．这样一年有366日，要比一年应有的365日多一日，因此必须从哪一个月里扣去一日才合适．当时判处死刑的犯人都是在二月份执行处死，人们认为二月份是不吉利的月份，就从二月份中减去了一日，这样，二月只有29日了。后来，恺撒的儿子奥古斯都做了皇帝，他发现自己出生的八月份只有30日，是小月，于是他就又从二月份中减去一日加在八月中，八月变成了有31天的大月，往后的次序也相应改变，九月、十一月改为30天；十月、十二月改为31天，这样二月就只有28天了。这样的变化一直延续至今。实际上，人类精确的计算出地球绕太阳转一圈的时间为365天5小时48分46秒（即1年）。为了方便人们把1年定为365天，这样，每过4年就多出将近1天（5小时48分46秒×4≈24小时）来，就把这1天加在二月份里，这一年就成了闰年，有366天。
通过上面的介绍你能猜出为什么公立年份，整百数的必须是400的倍数才是闰年吗？
这是因为每年按365天来计算，每过四年就多出23时15分4秒，这个数字很接近一天的时间。因此，规定每四年的二月份增加一日，以补上过去少算的时间，但这样实际上每四年又要亏44分56秒，推到100年时，亏了18时43分20秒，又将近一日了，所以规定到公元整百年时不增加这一天，而到整400年时再增加这一天。
100.足球上的数学
我们平时看见的足球是用黑白两种颜色的皮缝制而成的。黑皮是正五边形的，白皮是正六边形的，那么如果其中黑皮有12块，白皮有多少块，这就是一个足球几块白皮的数学问题。
怎么样？是不是觉得非常困难，无处下手啊？
提示一下：利用“所有正六边形的总边数＝所有正五边形的总边数”来求解。
过程如下：
每块黑皮有五条边，十二块黑皮共有5×12=60条边，每块白皮有三条边与黑皮在一起，因此白皮共有60÷3=20块。我检验了一下，足球真的是有20块白皮。