101.六边形与自然界
数学与自然界之间的联系是很丰富的。来自不同数学领域的对象和形状出现在许多自然现象中。
六边形有什么特点使得自然界对它一再青睐？自然对象的形成和生长受到周围空间和材料的影响。正六边形是能够不重叠地铺满一个平面的三种正多边形之一。在这三种正多边形（正六边形、正方形和正三角形）中，六边形以最小量的材料占有最大面积。正六边形的另一特点是它有六条对称轴，因此它可以经过各式各样的旋转而不改变形状。能用最小表面积包围最大容积的球也与六边形相联系。当一些球互相挨着被放入一个箱子中时，每一被围的球与另外六个球相切。当我们在这些球之间画出一些经过切点的线段时，外切于球的图形是一个正六边形。把这些球想像为肥皂泡，就可以对一群肥皂泡聚拢时为什么以三重联结的形式相接的原因，作出一个简化的解释。所谓三重联结，就是相交出的三个角都是120°，而120°正是一个正六边形的内角大小。三重联结出现在许多领域，例如玉米棒子上的谷粒构成、香蕉的内部果肉，以及干土的裂缝。发现六边形在自然界中的新的存在形式，比起它们第一次在龟背上、在蜂窝里或者在晶体的形状中被发现的情形来，令人兴奋的程度毫不逊色。今天，科学家们为看到外层空间中的六边形而同样着迷。自从1987年以来，天文学家们一直集中注意于大麦哲伦云，超新星1987A就是在其中观察到的。在新星爆发之后看到气泡已经不是第一次了，但是发现气泡以蜂窝状聚集在一起则是第一次。英国曼彻斯特大学的王立帆发现了巨大到约30光年×90光年的“蜂窝”，它由约10光年直径的气泡约20个组成。王推测，一个由以大约相同速率演化了几千年的大小相似的星组成的星团，产生出非常大的风，使气泡呈六边形结构。
最近，观察自然界的雪花揭示了六边形对称和分形几何。雪花具有六边形的形状。此外，雪花的生长由科克雪花曲线来模拟。这个分形由一个等边三角形生成，如下页图所示。
由此可知，等边三角形、正六边形和分形雪花之间的关系把欧几里得几何与非欧几何联系了起来。
自然界中的对象已经提供并且还在提供着激励数学发现的模型。自然界有一种在它的创造物中达到平衡和微妙均势的方法。了解自然作品的钥匙是利用数学和科学。伽利略把这一点表达得很清楚，他说——“宇宙是用……数学语言写成的。”数学工具提供了我们用来试图了解、解释和再现自然现象的手段。
103.计算发现了海王星
数学是科学预见的有力工具。
太阳系有九大行尾，从里往外数，最外面的三颗依次是：天王星，海王星和冥王星。因为这三颗行星离地球太远，不容易看到，所以发现得较迟。
1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。19世纪，人们在对天王星进行观测时，发现它的运行总是不大“守规矩”，老是偏离预先计算好的轨道。到1845年，已偏离有2分的角度了。这到底是什么原因呢？数学家贝塞尔和一些天文学家设想，在天王星的外侧，一定还存在一颗行星，由于它的引力，才扰乱了天王星的运行。可是，天涯无际，到那儿去寻找这颗新的行星呢？
1843年，英国剑桥大学22岁的学生亚当斯，根据力学原理，利用微积分等数学工具，足足用了10个月的时间，终于算出这颗未知行星的位置。这年10月21日。他兴高彩烈地把算出的结果寄给英国格林威治天文台台长艾利。不料，这位台长是一个迷信权威的人，根本看不起亚当斯这样的“小人物”，对他采取不理不睬的态度。
比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年数学家勒维列于]845年解了由几十个方程组成的方程组，于1848年8月31日计算出这颗新行星的轨道。他于这一年9月18日写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒，对他说，“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，即经度326度的地方，那么你将在离此点1度左右的区域内见到一颗九等星。
加勒在9月23日接到了勒维烈的信，当夜他就按照勒维列指定的位置观察，果然在半小时内，找到一颗以前没有见过的星，距勒维列计算的位置相差只有52′。经过24小时的连续观察，他发现这颗星在恒星间移动着，的确是一颗行星。所有天文学家经过一段时间的讨论，都公认它便是太阳系的第八颗大行星，并根据希腊神话的故事，把它命名为海王星。这就是人类用笔头最早计算出的行星。
1915年，美国天文学家洛韦耳，用同样的方法算出了太阳系中最远的一颗行星——冥王星的存在。1930年，美国的汤波真的发现了这颗行星。
海王星，冥王星首先是由笔头计算出来的。但这并不是说，数学理论可以脱离实际，随心所欲地去驾驭实际。事实上，海王星、冥王星是客观存在的，它们的运行轨道也是客观存在的，数学在这里不过是超前一步发现了这个规律，从而促使人们通过观察证实这个规律罢了。
104.首位数问题
人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。
天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙？纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以1为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例？它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多？人们后来就把这个问题称为“首位数问题”。
大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外，共有九个数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为1的自然数应该占全体自然数的1／9。可是，事实并不这么简单。1974年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西？迪亚科尼斯，研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是1的自然数约占全体自然数的1／3。准确一点说，这个数值应该是lg2约为0.30103，这是怎么一回事呢？
事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是：
I到9之间，这样的数只有1个，它就是1，所以占1／9；
I到20之间，这样的数有11个，它们是1，10，11……19，所以约占1／2，
1到30之间，这样的数同样有11个，约占1／3，
1到100之间。这样的数仍然只有］1个，约占1／9，
l到200之间，这样的数有111个，它们是1，10，11，…，19，100，101，…，199，约占1／2。
注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在1／2与1／9之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的lg2。
迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德？沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。
105.红木树中的数学
自然总是让人大吃一惊。当我们仔细看看自然界的各个领域，便会得出这样的结论：自然似乎懂得数学！
那高高的海岸红木，那巨大的加利福尼亚美洲杉，都是地球上最古老的活在世上的东西。在它上面我们能够发现一些诸如同心圆、同心圆柱、平行线、概率、螺线以及比等数学概念。
在旧金山以北几英里的缪尔树木名胜古迹区，人们可以发现一丛巨大的红木树。在缪尔树木陈列室里有一个古代树的横断面。沿着断面上的同心环，有着许多历史资料的记录。在这些记录中，有基督的生日、诺尔曼人的征服，哥伦布发现新大陆等年份的标记。
一棵树的水平断面显示出同心圆的形式。正常每年生成一个圆环，环的宽度则依赖气候的变化。干旱的季节所生的环窄些，除了用这些环确定树的大致年龄外，这些环还揭示了影响它生长的气候和自然现象的信息。科学家们能够用这些环来证实诸如干旱、火灾、洪水和饥荒等假说。
当观察对的整段长度时，这些同心圆表现为同心圆柱。这些圆柱的纵断面是一系列平行线。靠中心的平行线是树的心材。接下来是白木质的平行线，它为树木上下输送养料。随着树的生长，白木质圆柱层逐渐变为树的心材。在树皮与白木质之间有一个单细胞的圆柱层，称为形成层，新的细胞正是由形成层制造并变为树皮和白木质。
不同树种之间种子的大小和数量有着很大的差异，例如，七叶树的种子每磅只有27个，而相比之下红木树种子每磅却多达12000个。红木树的球果长度在1／2英寸到1英寸之间，其中带有80到130个的种子。这些种子能够在15年之内发芽、生长。事实上，一棵巨大的红木树每年产生几百万颗种子，通过种子的数量对种子的发芽率予以补偿。在逆境下，许许多多小小的种子会增加红木树萌芽的机会。而种子发芽后说不定几千个中也只有一株有望长成大树。
看一看红木树的树皮，人们注意到在它的生长图案中有一些轻微的旋动。这是一个在增大的螺线。它是由于地球的自转以及稠密森林中微弱阳光对红木树生长方式的影响两者造成的。
有一个令人惊异的根系支撑着这些高大挺拨的巨树。这些根系主要由浅根构成。支撑巨大红木树的是通过侧向向外的支根。根系与树高的比通常在1／3与2／3之间。例如，树高为300英尺，则它根系的侧根从树干的底部算起大约要有100～200英尺，才能为大树提供一个坚实的基础。
106.设计师详解“神箭”数字
火箭的可靠性为0.97，安全性为0.997：0.97的可靠性就是说100次发射里，只有3次火箭可能出现问题；0.997的安全性是指火箭出现1000次问题里，可能有3次会危及航天员的生命安全。
这是载人火箭的特性。一般的商用火箭可靠性为0.91到0.93，没有安全性要求。
火箭起飞重量为479吨：火箭加上飞船重量约44吨，其它的都是液体推进剂。因此，火箭的90％都是液体，比人体含水量还大。水通常占人体的60％到70％。
飞船重量为8吨多，占船箭组合体起飞重量的六十二分之一：要把一公斤的东西送入轨道，就得消耗62公斤的火箭。神舟六号飞船比神舟五号在重量上有所增加，因此发射神六的火箭也重了不少。
火箭芯级直径为3.35米：古罗马人使用两匹马拉的车，车轮在石板路上磨出两道沟。由于车轮宽窄不一样，路上留下了不同宽窄的沟。后来他们想把轮距统一起来，就把两匹并排的马屁股当成标准，即1.435米，后来英国人修铁路也把铁轨轨距定为1.435米，并被各国沿用。按照这个轨距修建的铁路，能够运输的货物最宽为3.72米，去掉车厢外壳，只剩下3.35米。因此，用标准铁路进行运输的火箭最大直径只能达到3.35米。
火箭入轨点速度为每秒7.5公里：这个速度是音速的22倍。我们通常说的“十里长街”，是指北京建国门至复兴门的距离，长6.7公里。每秒7.5公里的速度，相当于1秒钟内从长安街东头跑到西头。
火箭轨道近地200公里，远地350公里：地球半径6400公里，火箭轨道与地球的距离，仅为地球半径的几十分之一。如果站在地球外面看，飞船就像贴着地面在飞行。
107.小孩数数的活动
大约从两三岁开始，小孩子已经能数数了。先学会数一个、两个、三个；过些日子，能够数到十了；又过些日子，能够数到二十了；再过些日子，会一十、二十、三十、四十……地数了。
小学一年级学生，已经能熟练地数100以内的数了；小孩子的数数能力，就这样从数1、2、3开始，先学会一个一个地数，再学会十个十个地数，认识了计数单位“一（个）”和“十”，数到了100，从此以后，数数就不是这么一小段一小段地增长了。
认识了新的计数单位“百”、“千”、“‘万”……他（她）就能从“1”数到“100”，从“100”数到“IO00”，从“100O”数到“1000O”……儿童的计数”能力不断地呈飞跃式前进。
终于有一天，他（她）自豪地宣布：“我什么数都会数了！”
怎么会的？
首先，他（她）知道从头数；
其次，他（她）知道一个一个按次序数；并且不愁数了一个以后，下一个不会数。
于是，他（她）就会数任何数了！
当然，像这样一个一个数出来的数都是自然数（整数的一部分）。
所谓的自然数，就是指1，2，3…，这些数所组成的整体。
如果从“1”起，把自然数按照由小到大的顺序排列起来，就得到一列数：1，2，3，4，5…
像这样，由全体自然数依次排列成的一列数叫做自然数列。
自然数列有下面的性质：排在自然数列最前面的一个自然数是“1”。