自然数列里的自然数是按照由小到大的顺序排列的。每一个自然数后面都有一个而且只有一个后继数，并且除“1”以外，每一个自然数都有一个而且只有一个先行的数（即紧挨在它前一个数）。
自然数列里不存在“最后”的自然数。自然数的个数是无限的。
有了自然数范围内的计数能力，这可是一个人一生发展中早期最富有意义的大事之一！试想：如果这一步不能实现，那末人们一辈子就只能学数数了。而且人生有限，数目无穷，就是穷其一生，还学不尽呢！
人类有了自然数和自然数的计数能力，也是人类自身发展及数学认识发展史上具有里程碑意义的大事！有了这种能力，人类方得以计数万物，窥天测地，认识自然，改造世界；由此，数学科学方得以奠基、萌生，并逐步发展、壮大，成长为今天这样根深蒂固、叶茂叶繁、常长常青的参天大树！
108.数学中的“一一对应”
我们已经看到，在数量观念的萌生时期，要区别一个、两个、三个、四个……这样的数量，都是很艰难的；至于赋予数的名称并用言语表达，当时就更谈不上了。可是，尽管如此，切不要认为我们的远古祖先一定完全分不清超过三以上的数量。当他们将要舍弃那种将被数的物品拿在手中或置于脚边的做法，拟或远在这之前，一种我们今天称之为“-一对应”的物体数量比较方法就出现了。
什么是“-一对应”的方法呢？
比如，将采集的果实平均分配给大家，一定存在够分不够分的问题。那时人们还不知道用“数”的办法进行比较，只有依靠实际分配的过程和结果才能确知这一点。分配时，把所有的果实先按一人一个来分，如果最后有一些成员没有分到果实，那就说明今天采集的果实少了；如果一人分到一个以后还有剩余，那就说明今天采集的果实够多了；如果一人分一个，最后正好分完，那就说明今天采集的果实（与人数相比）不多也不少，或者说与人数“同样多”。
可以看出，这种数量比较法的关键，就是两类事物之间“一个对一个的搭配”，这种“搭配方式”就是我们所说的“-一对应‘’。通过这种对应的方式，不仅可以比较出数量之间的多与少，而且可以发现数量之间的相等关系”。
开始的时候，总是这种直接进行的对所涉及事物数量的比较。后来，人们发现对于许多种事物，都可以借助自己身上的一部分器官来完成数量上的比较。
比如，猎取两只野兽，捕获两条鱼，分到两个果子，这些都是和自己的“两只眼睛”一样多的。因此，表达两个物品的个数，就说成“像我的眼睛一样多”。
当人们意识到不仅自己的一双手可以用于数量比较，而且手指也能用来帮忙的时候，“屈指数数”就成为现实了。
这是几个物体与几个指头之间的“-一对应”。
1个物体，就伸出（或弯曲）1个手指表示。
2个物体，伸出（或弯曲）2个手指表示。
3个物体，伸出（或弯曲）3个手指表示。
4个物体，伸出（或弯曲）4个手指表示。
5个物体呢？伸出1只手（5个手指）来表示。
这样，用两只手，就可以表示出6、7、8、9、10各数了。
要表示更多一些的数量，只好又请脚趾来帮忙了。
这样，11就是“一个人的全部手指加上一个脚趾”；
15就是“像一个人的全部手指和一只脚的脚趾一样多”；
20就是“像一个人身上所有的手指头和脚趾头那样多”，或者干脆将它表示为“整个人”。
我们看到，即使那时人类没有产生抽象的数，没有各数的名称和读法、写法，但借助人体器官，根据“-一对应”的准则，还是能够认识与表示出较大一些的数量的。
大约在250O年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时它们是用手指作为计数工具的。为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四个指头；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。为了记录这些数，就把它们写在木板或羊皮上，用I、II、III来代替手指数；要表示一只手时，就写成“V”形，表示大拇指与其余四指张开的形状；表示两只手时，就画成“VV”形，后来又写成两只手对腕交叉或一只手向上一只手向下的“X”形，这就是罗马数字的雏形。
后来，为了表示较大的数，又用符号C表示100，C是拉丁文一百的起首字母；用符号M表示1000，M是拉丁文一千的起首字母；取字母C的一半，成为符号I，表示50；取字母M的一半，转化为符号D，表示500。
这样，罗马数字就有下面7个基本符号：
I（1），V（5），X（10），L（50），C（100），D（500），M（1000）。
用罗马数字记数时，采用加减法的原则。一般地，从左到右，先写表示大数的数字，后写表示较小的数的数字，表示相加。例如6写作“VI”，3写作“XXXI”，850写作“DCCC”。但在需要连续写出四个相同的字母时，相加改为相减，而把表示较小的数的数字写在前面。例如4写作“IV”，9写作“IX”，90写作“XC”。
除了国际通用的阿拉伯数字，罗马数字目前还保留使用。但因书写繁难，人们很少采用。生活中，以钟面上使用最为常见。
从最初只用物体间相互搭配的办法来比较两种事物的多少，发展到用手指这样一种具体事物来对应其他各种事物以表示多少，只要伸出几个手指，就会与有几个物体联系起来，这是人类计数史上一个很大的进步。
109.一进制记数法的局限
使用实物或结绳、刻痕，用一对一的方式来记数，这种记数方式用进位制的语言来说就是一进制。一进制的好处是简单，有几件东西，就打上几个绳结或刻划地道纹痕；数目有增减，绳结或刻痕就相应地予以增减。像这种事大约连今天三四岁的孩童也可以办得到。然而，使用一进制也有很大的局限性。一旦数目大了，它几乎就无能为力了。
我国曾流传着这样一则笑话。
从前有个财主目不识丁，他请了个私塾先生教儿子读书。
先生来了以后，先教孩子描红。描一笔，先生就说：“这是‘一’字”；描两笔，先生就说：“这是‘二’字”；描三笔，先生又说：“这是‘三’字”。
财主的儿子觉得识字不过如此：添出笔，就多“一”，这有什么难的！于是他告诉爹爹把先生辞掉了。
不久，财主家要请一个姓万的亲戚来喝酒，就让宝贝儿子写请帖。谁料过了很久也不见宝贝儿子把请帖拿来，于是财主便到书房来催。
宝贝儿子一见到父亲，便半是表功半是诉苦地说：“天下姓氏多得很，为什么偏偏姓万！我从一早到现在手不停笔，也才措了五百多划，离一万远着哩！”
这则笑料，的确是嘲讽自作聪明、自以为是这一现象的好材料。然而，即使是今天的读者，也千万别急于嘲笑“画‘万划’表‘万”’童子的愚蠢。事实上，这位童子只不过是在重复一段古代一进制记数法的做法而已。也许正是由于古人反反复复重复这种记数法，从内心深处真切地生发诸般“记数难，难于上青天”的感慨，他们才急于摆脱“一进制”的羁绊，寻求建立合理的进位制以满足记数的需要。
110.日记里的数字
今天气温24度。我到市场买了三条鱼，最大的一条有两斤重、一尺半长，回到家里正好8点。
在这24、3、l、2、1．5、吕中，只有3和1是精确数，其他都是近似数。
狗有四条腿，蛇有一个头。这样的数能够精确，也应该精确。
本县有56万人，我的头发是11万根。这样的数也能够精确，知道万以上的数，就可以了。
许多近似数大不一样。像表示时间、长度、重量、温度、角度的数，只能是近似数，不能是精确数。这就是说，你想要精确数，也办不到。
谁也说不出一条鱼的精确重量。事实上，鱼的重量随时随地在变。地球上的重力大小不是处处相同的；鱼身上有水分，水分可以挥发，又可以吸收空气中的某些气体，什么时间、什么地方的重量才精确呢？就是有精确重量，任何现代的先进测量工具，包括电子计算机也无能为力，并且永远无能为力。人能做的事情，只能是尽量满足不同的要求。
把椅子腿的角度做歪一度的木匠，不能算蹩脚的木匠；而打捞海底沉船的时候，把沉船位置算错一纬度的技术员，就是很不称职的技术员了。因为在地球上，经度相同，纬度相差一度，距离就差一百多公里远了。
日记里的数都有单位。
当今世界上，使用的度量单位也够多的了。同一种量，往往又有种种自成系统的单位。长度的单位，英美国家喜欢用英里、码、英尺、英寸。据说，一码的长度，最初是英王亨利一世的指端到鼻子的距离；一英尺是以查理曼大帝的脚长为依据；把三颗又圆又干的麦粒连在一起是一英寸。这样定长度有点可笑，相互之间的换算更叫人心烦。
我国历史上有里、引、丈、步、尺、寸等长度单位，而且各个时期的“尺”长又不尽相同。古典文学中有“身长九尺”的说法。那时的一尺，肯定比现在的一市尺要小。要不，在身长九尺的人面前，就是最高的篮球运动员，也是矮得出奇的小个子了。
人类交往多了，这么多不同的长度单位，实在太不方便了，有必要统一起来。
1790年，法国国民议会决定建立一套能适合国际需要的度量制度。9年后，在法国数学家拉普拉斯领导下，定出了“米”的单位。
1875年，国际计量组织规定，以通过巴黎的地球子午线长度的四千万分之一为一米。14年后，决定以一根铂铱合金米尺上的两条刻线间的距离作为一米，精度是千万分之一。
1960年，国际计量大会通过：以规定条件下的氪原子，在真空中辐射的光波波长来确定一米的长度，精度是十亿分之一。23年后，通过用激光来代替氪，精度又提高了一百倍。
人家不欣赏我们的市尺、市寸，我们也对他们的脚长、麦粒不感兴趣。大家都用公制，倒是个好办法。
1984年2月27日，国务院发布了《关于在我国统一实行法定计量单位的命令》。这就是国际计量大会讨论通过采用的以米制为基础的国际单位制。
大家把度量单位统一起来是件好事。可是，为什么不用中国制，不用英国制，偏偏要用法国人创立的公制呢？
这里面有这样的一些道理：
公制里的大小单位之间的进位关系，是十进制、百进制或者千进制。
一公里是1000米，一米是100厘米，一厘米是10毫米；一吨是1000公斤，一公斤是I000克。这样的大小单位的换算，动动小数点便行了。这比一里是150丈，一英尺是12英寸要方便得多。
公制里的长度单位，和重量单位、时间单位以及其他的一些单位，互相配合得好。一立方米的水，正好是一吨，使质量一克的物体产生1厘米/秒加速度的力，正好是一达因，真是好记好用。
都用公制，不同国家和地区的度量单位一致了；度量进位制和数的十进制一致了；度量进位制和数的十进制一致了；同类别大小单位的各级进位方式一致了；不同物理量的相互关系协调了。
为什么时间不用十进制呢？
其实，科学上用的时间，基本单位是秒，比秒小的时间单位也是十进制的。分和小时是按一昼夜长度，结合生活习惯划分的，本来就不是十分精确的单位。至于日、月、年，更是由天文现象决定的，想化成十进，也不可能了。
最短的时间单位叫“那诺秒”。一那诺秒等于1．0X10－’，相当于光线走3O厘米花费的时间。
日记中的“24度”，要写成24℃，以免与其他温标混淆。
科学上有一种表示温度的方法叫“绝对温标”，也叫开氏温标，记作K。OK＝－273．15℃=－273℃。
OK是达不到的。现代的超低温技术，已经能够获得十分接近于OK的温度。至于能够达到的高温，理论上不受限制。
111.年龄算法的特点
父亲现在的年龄，与儿子现在的年龄加起来是110岁；等到儿子的年龄，与父亲现在的年龄相同时，儿子的年龄是孙子现在的年龄的9倍；那时，孙子的年龄比儿子现在的年龄大4岁。请问：孙子现在的年龄大？
碰上这样弯来揭去的问题，首先要有不怕的精神准备，然后开始理一理头绪。题牵涉到的人不过三个——父亲、儿子和孙子。用得上的时间不过两个——那时和现在。此外，还得对年龄本身的特点有所认识。
年龄本身有什么特点呢？
第一，年龄只能随时间增加，不会减少，数学上是没有“越活越年轻”的。所以，求解出来的真实年龄有负值，便应该舍去。
第二，时间给予人的年龄是相等的，很公正。这就是说，每过一年，每人都增长一岁，不想要这一岁不行，想蹦着长也不行。
第三，不特别声明，数学题中的年龄取整数。这虽然不太符合真实情况，也还符合一般习惯。
好了，现在来解题。
解题时设未知数要以大胆些，不必怕未知数设多了。题里有父亲、儿子、孙子三人，就分别设他们现在的年龄是X、y、Z岁。然后，逐句分析题意，列出方程式。
第一句很明确
X+y=110…（1）
第二句也清楚，当儿子年龄达到X岁时，就有X＝9z…（2）