一般的情况，书本的数目并不一定比抽屉数目多1，可以更多一些，例如多6本、7本放到四个抽屉里。如果更多呢？例如21本书放到4个抽屉里，道理也是一样，也就是无论怎样放法，至少可以找到一个抽屉里至少有6本书。这样的情况，即把（m×n＋1）或比（m×n＋1）多的元素放到n个集合里的话，无论怎样放法，其中必定至少有一个集合里至少放进m＋1个元素。
我们来试试看，假使在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每二点用红色或蓝色的线段连起来，都连好以后，能不能找到一个由这些线段构成的三角形，它们的三条边是同一颜色的？
我们可以随便选择其中任何一点，可以看到这一点到其他五个点之间连接了5条线段，这5条线段中，至少有三条是同一颜色，假定是红色。现在我们单独来看这三条红色的线段吧，这三条线段的另一端不是也有不同颜色的线段连接起来构成三角形的吗？假使其中有一条是红色的，那么，这条红色的线段和其他原来连接的两条红色线段就组成了一个我们所要找的三角形。假使这三条都是蓝色的呢，那么，这三条蓝色线段本身组成的也是我们所要找的三角形。所以，无论你怎样着色，在这任意六个点之间所有的线段中至少能找到同一种颜色的一个三角形。
假使在一场乒乓赛中，从所有的队员里任选六个人，你能证明他们当中必然有三个人互相握过手，或者彼此都没有握过手吗？
19.在满箱子里再装一个零件
某包装工人要把一批圆形零件装箱，他把40个零件放进一个箱子里刚好装满，一点也不松动。但他计算一下后发现，如果每个箱子再能放进一个零件，那么将节省很大一笔钱。你能帮他忙吗？
这个问题表面看来是根本办不到的。因为零件在箱子里可谓“充分饱和”，要想再放进一个零件，必须重新安排结构，对于圆形零件的“紧凑”摆法也只有“三圆两两外切”这一种情况可试了。一经试验立刻获得成功。
这种摆法我们只计算一下长度就可以了。设圆形零件的半径为r，则相邻的两行的圆必距离为3r，这样9行零件的总长度为(83＋2)r。前面一种摆法总长度为16r。
把两个长度比较一下：
83＋2＜8×17.74+2=15.92＜16
由此可见，后一种摆法不但能放进41个零件，还略有余地呢！
20.用淘汰制计算比赛场数
如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50人，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？如果你是比赛的主办者，你会安排吗？
因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从22＝4人中产生，而这4人又应该是从23＝8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）……那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如上例的50在32（25）与64（26）之间，而50－32＝18。那么第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的是18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共，是：18＋16＋8＋4＋2＋1＝49，恰恰比50少1。
我们再来看看世界杯足球赛的例子。98法国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行分组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？32正好是25，因而总的场数是16＋8＋4＋2＋1＝31，也是比32少1。
不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大，但比2n＋1小，那么，就需要进行n＋1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M－2n，第一轮比赛淘汰M－2n人后，剩下的人数为M－（M－2n）＝2n。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：
2n＋1＋2n－2+2n－3＋……＋23＋22＋2＋1
＝(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)×(2－1)
＝(2n＋2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2)－(2n－1＋2n－2＋2n－3＋……＋23＋22＋2＋1)
＝2n－1
所以，一共比赛的场数是（M－2n）＋（2n－1）＝M－1，即比参加的人数少1。
其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就得淘汰M－1人，所以就得比赛M－1场。你明白了吗？
21.怎么走路淋雨越少
人们经常在雨中奔跑，因为通常认为走得越快，淋的雨就越少。那么实际情况是不是这样呢？我们来算一下。
设人体为一长方柱，其前、侧、顶的表面积之比为1∶a∶b。将人行走的方向设为x轴，设人的行走速度为v，行走距离为l。假定雨速是常数u，它在地平面x轴、y轴及垂直于地面的z轴上的分速度分别为ux、uy、uz。
由于在单位时间内，人在前、侧、顶三个方向的淋雨量，与它们的表面积以及三个方向上人与雨的相对速度的绝对值有关，所以单位时间的淋雨量一般可表示为：
k（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜），
其中k为比例系数。因此，在l/v时间内，总淋雨量为：
s（v)＝klv（｜v－ux｜＋a｜uy｜＋b｜uz｜)。
其中只有v是变量，所以s是v的函数。
下面我们分不同的情况来讨论。当v＜ux，即在行走方向上人行走的速度小于雨的速度时：
s（v）＝klux＋a｜uy｜＋b｜uz｜v－1。
显然v越大，s（v)越小，就是说在这种情况下，走得越快，淋雨量越小。
按照上面的公式，我们同样可以得出当v≥ux时，如果uxa｜uy｜＋b｜ur｜，走得越快，淋雨量越小。而如果ux＞a｜uy｜＋b｜uz｜，则是走得越快，淋雨量越大。事实上，由于此时x轴方向雨速最大，淋雨量主要来自这一方向，因此v不宜过大。相反，倒是要保持人速与雨速相等，即v＝ux，才能使“前”身的淋雨量为0。
22.购买奖券的中奖概率
日常生活中我们常可见到各种各样的奖券、彩票，比如体育彩票、社会福利彩票、有奖储蓄奖券等等。购买奖券时到底是买连号的好还是买不连号的好？到底哪一种中奖机会大呢？
我们先来看一个简单的例子。设有某种奖券，奖券号末位是0的就中奖，中奖机会（概率）是10％。现购买两张奖券。如果购买连号的，则两张奖券的奖券号末位共有10种可能，分别是（0，1），（1，2），（2，3）……（9，0），且每一种情况出现的可能性（概率）是一样的，而其中只有（0，1）及（9，0）两种情况中，会有一张奖券中奖，因此，总的中奖概率为20％，平均中奖次数为1×20%＝0.2次。如果不买连号的而任意购买两张奖券，则两个末位号有以下100种可能，同样每种情况出现的概率相同，各为1％。
（0，0），（0，1），（0，2）……（0，9）
（1，0），（1，1），（1，2）……（1，9）
……
（9，0），（9，1），（9，2）……（9，9）
在这100种情况下，只有在（0，0）一种情况下，所购买的两张奖券都中奖，因此概率是1％；而在（0，1）……（0，9）及（1，0）……（9，0）共18种情况中，有且只有一张奖券中奖，概率为18%；在其余情况下，所购买的两张奖券均不中奖。因此，总的中奖概率为1％＋18％＝19％，比购买连号时的20％小了1％，但平均中奖次数为2×1％＋1×18％＝0.2次，与购买连号时一样。因此我们说，购买连号或不连号的两种情况下，平均中奖次数（机会）是一样的。
如果购买三张奖券，计算也与前面类似。购买连号的时候，中奖概率是30％，平均中奖次数是0.3次。购买不连号的时候，三张奖券都中奖的概率是0.1％，有两张奖券中奖的概率是2.7％，只有一张中奖的概率是24.3％，总的中奖概率是27.1％＜30%。此时，平均中奖次数为3×0.1％＋2×2.7%＋1×24.3％＝0.3次，仍与购买连号时一样。事实上，无论购买几张奖券，两种购买方式的平均中奖次数都是一样的。
再把这个例子改一改，设末位奖券号为0时中二等奖，末两位奖券号为00时中一等奖，且不同奖项可兼中兼得。假设仍然是购买两张奖券，前面已计算过，无论采用哪一种购买方式，中二等奖的平均次数是一样的。类似的可以计算出，购买连号奖券时，中一等奖的概率为2％，平均中奖次数为0.02次。购买不连号奖券时，两张都中奖的概率是1%×1％＝0.01％，只有一张中奖的概率是1％×99%＋99%×1％＝1.98%，因此总的中一等奖的概率为1.99%＜2％，而平均中奖次数为2×0.01%＋1×1.98％＝0.02次，两种购买方式的平均中奖次数仍然是一样的。
总而言之，无论奖项分几个等级，无论每个奖项的中奖概率是多少，也无论购买多少张奖券，购买连号的或不连号的，总的中奖概率可能不同，但平均中奖次数总是一样的。
23.商店一次进货多少最合理
商店在向顾客售出商品的同时，要从厂家或批发部门批进商品，或称进货。正常情况下，商店每售出一件商品，除了收回各种成本以外，还能够赚取一定的利润。进货一般是每隔一段时间（例如一个月）进行一次。如果一次进的货太少，就会造成热销的商品缺货而错过赚取利润的机会；相反地，如果一次进的货太多，商品没有及时售出，就会造成积压或滞销而带来损失。因此，商店一次进货量的多少与该商品一段时期内销量的多少有密切的联系。但销量的多少并不由商店老板决定，它是一个不确定的量，只能做一定的估计。那么商店到底应该进多少货才能保证获取的（平均）利润最多呢？
我们通过下面一个具体的例子来回答这个问题。
某服装店准备购进一批时装销售。在销售旺季中，每售出一件时装能赚取利润50元；旺季结束后，为了尽量防止商品积压影响资金周转，不得不降价出售，再加上商品库存保管等费用，合计每件将损失10元。进货前商店作了一次市场调查，估计总共能售出40～50件时装，具体售出时装件数及其可能性如下：
共售出件数小于404041424344可能性(%)05781012共售出件数454647484950可能性(%)151210975现问为使商店获取最大利益，应该进多少货？
设进货量为x件，显然x在40～50件之间，若x＜40，则必然会造成缺货；同样，若x＞50，则必然会造成积压，两者都是不可取的。下面我们分别对x为40～50件计算商店所能获取的平均利润。X＝40件时，总能全部售出，没有积压，因此总利润是：
50×40＝2000（元）。
X＝41件时，有5％的可能只售出40件而积压1件，而有1－5％＝95％的可能会全部售出而没有积压，因此平均总利润为：
（50×40－10×1）×5％＋（50×41）×95％＝2047（元）。
X＝42件时，有5％的可能只售出40件而积压2件，有7％的可能只售出41件而积压1件，其余情况下会全部售出而没有积压，可能性是1－5％－7％＝88％，因此平均总利润为：
（50×40－10×2）×5％＋（50×41－10×1）×7％＋（50×42）×88％＝2089.8（元）。
下面我们将进货量x为40～50件时的平均总利润计算结果列出如下：
进货量(件)404142434445利润(元)200020472089.82127.82159.82184.6进货量(件)4647484950利润(元)2200.422092211.62208.82201.8从计算结果可以看出，当进货量为48件时，商店所能获取的平均总利润最大，为2211.6元。