毕加索的正方体
毕加索将一块边长为3寸（1寸≈3.3厘米）的正方体木头漆成黑色，再切成若干1寸的小正方体。在角上的8个小方块有3个面是黑色的，最中央的小方块则是一点黑色也不会有，其余的18个小方块中，有12个两面是黑色的，6个一面是黑色的。请注意，两面黑色的方块，是一面黑色方块的2倍；三面黑色的方块，是一点黑色也没有的方块的8倍。现在有一块正方体木头，可情况恰好相反，把它漆成黑色并切成1寸的小方块以后，一面黑色的小方块，是两面黑色的小方块的2倍，一点黑色也没有的方块是三面黑色的方块的8倍。那么，这个方块的边长是多少呢？
答案是：这个方块是6寸的，这样大的一块木头切开后成为216块小木块。其中96块有一面黑色，48块有2面黑色，8块有三面黑色，64块全白色。
爱迪生的“骑马思维”
爱迪生爱迪生在工作之余，总是给助手讲一些既有教育意义又很有趣的故事，鼓励他们积极思考，努力工作。下面的故事是一则关于“骑马思维”的故事。
古代有一个国王，他有两个儿子。因为他年岁已高，所以，必须考虑好移交王位的事情。一天，他想考考两个儿子谁最聪明以便让他继承王位。他对他们说：“我给你们一人一匹马，黄色的给老大；青色的给老二。你们分别骑上自己的马，到泉边去饮水，谁的马走得慢，谁就是优胜者。”老大想，这好办，就慢骑呗！老二却不然，听了父亲话后便急匆匆地奔向马棚，不一会儿便到了目的地，返回家，并向父亲报到。老国王当时十分高兴，便立即决定将来由老二继承王位。原来，老二骑的是大哥的黄马。爱迪生要求他的助手不仅要有广博的知识，而且要具备这种“骑马思维”的方法和能力。
苏格拉底的花园
苏格拉底有一个学生问苏格拉底：“请告诉我，为什么我从未见您蹙眉皱额过，难道您的心情总是那么好吗？”苏格拉底答道：“因为没有什么东西，能使我失去了它而感到遗憾。”
的确，苏格拉底被判死刑后，他仍能保持乐天的禀性，这是难能可贵的。可是，当有人向他征求如何处理他惟一的遗产——一块梯形的花园时，他却皱了眉。在这块花园里，有4棵月桂树，他想把它分成大小都相等的4块，分别送给他的得意门生，要求在每块地上还能保留一棵月桂树，以免发生什么分歧。
你说怎样分才好呢？要把梯形加以分割，应设法找到梯形的相似形，是一种很巧妙的分法。
马克·吐温笔名的来历
萨缪尔·兰亨·克里曼斯在密西西比河当水手时，经常随船运送货物经过一座大桥。一货船载着一台高大的机器，要过大桥时，他听二副高喊：“马克吐温。”原来上游连日暴雨，河水上涨，深有两寻（寻是英美长度旧称，1寻为1.829米），“马克吐温”即水深两寻之意。船长听到喊声，立即抛锚停船，因为机器高出桥孔2寸，无法通过。正当船长一筹莫展时，萨缪尔想出了一个办法，既没有卸下机器，也没有等水落，就使船顺利通过了大桥，萨缪尔后来当上领航员，同时又开始了写作。由于他长期生活在密西西比河，就索性把马克·吐温当作了自己的笔名。
马克·吐温在一篇小说中还写了这样一个情节：一辆载重汽车，要通过某隧道。该隧道高3米，但汽车加上车上货物总高度偏偏是3.01米。车上货物十分沉重，又无法搬动。正当司机垂头丧气时，来了一个机灵人，给他出了一个好点子，使这辆载重汽车顺利通过了隧道。
这里有两个问题：马克·吐温用什么方法使船通过了大桥？小说中的机灵人又给司机出了一个什么好点子？
答案是：马克·吐温让大家往船上搬一些石子之类的重物，使船吃水深一点；而机灵人让司机把胎中的气放瘪了一点，即可通过隧道。
不添篱笆扩羊圈
大数学家欧拉小时候在巴塞尔神学校的课堂就读。有一天，小欧拉谦恭地向神职老师发问：“既然上帝无所不能，他能告诉我天上有多少颗星星吗？”
老师回答道：“这是无关紧要的，我们作为上帝的孩子，记住这一点就足够了：星星都是上帝亲手一颗颗地镶嵌在天幕上的。”
小欧拉百思不得其解：“既然星辰是由上帝一手安排的，他总该告诉我们一个数目吧？”
神学老师再也回答不了小欧拉的问题，他无可奈何地摇摇头叹声说道：“可怜的孩子，迷途的羔羊。”
就这样，小欧拉被神学校开除了。
老欧拉十分伤心地接回了儿子，想着：总得积攒学费送他上别的学校啊！老欧拉决定扩展羊圈，多养些羊，他招呼儿子，拆改旧羊圈。
可是没有多余的篱笆，怎么办呢？老欧拉没有了主意。
这时，站在一旁的小欧拉不慌不忙地说：“爸爸，篱笆有了。你看，旧羊圈长70码（1码≈0.9米），宽30码，面积为2100平方码，改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”
“太妙了，你是怎么想到的？”
“我是从您书橱的《几何学》上看来的。如果把羊圈围成圆形，面积将最大，有3100多平方码呢！”
老欧拉明白了，原来儿子在自学数学，放羊时还见他在草地上画来画去。小欧拉自学数学的热情打动了老欧拉，他决心推动儿子进入古老而神秘的数学王国。
欧拉扩大羊圈不添篱笆的事实说明：在一定周长下，正方形的面积比长宽不等的矩形面积大，而圆又比正方形的面积大。正方形四四方方，简单匀称，是完善的几何图形之一。圆这个最简单的曲线最令人惊叹，它是惟一的具有无穷多条对称轴的轴对称图形，又是中心对称图形。正是这些对称图形的面积也最大。
百鸡问题
一般来说，其未知数多于方程个数的方程为不定方程。中国的《孙子算经》、《九章算术》等书中均有不定方程问题。《张邱建算经》中的百鸡问题是一个著名的求正整数解的一次不定方程问题。
张邱建生活在中国的南北朝时期。他幼年时就善于思考，聪颖敏捷，喜欢解答数学问题，被大家称为“神童”。当时的宰相非常惜才，便想了一道“百鸡之谜”来考察神童的水平。他把张邱建的父亲叫了去，说：“这里有100文钱，给我买100只鸡来，这100只鸡中应有公鸡、母鸡和小鸡。钱不能剩余也不能超出，鸡的数目不能多不能少。”当时，一只公鸡5文钱，一只母鸡3文钱，三只小鸡1文钱。怎样才能用百文钱买百只鸡呢？张邱建的父亲对算术很外行，他把此事告诉儿子。小邱建想了想，就在地上算起来。过了一会儿，他告诉父亲说：“买4只公鸡、18只母鸡和78只小鸡就行了。”小邱建以他的巧妙计算而受到了宰相的召见，并对他给予了奖励。张邱建从此更加勤奋地学习，终于成为一位著名的数学家，并编纂成《张邱建算经》，这是中国汉唐年间10部重要的数学著作之一。
凫雁问题
一只野鸭子从南海飞到北海要用7天，一只大雁从北海飞到南海要用9天。试问：若它们同时从两地起飞，几天后相遇？
这个有趣的问题出自中国古代数学名著《九章算术》，书中称野鸭子为凫，所以称这道题为凫雁问题。解法是：把两个天数相加作为除数，相乘作为被除数，除得的结果就是所求的天数。公元263年，大数学家刘徽在《九章算术注》中对这个解法作了解释：野鸭子7天能飞完一个全程，而大雁9天能飞完一个全程，取7和9的最小公倍数63，那么63天中，野鸭子可以飞9次，大雁可以飞7次。也就是说，野鸭子和大雁在63天里一共可以飞完16次，或者说，它们合作飞行16次共需63天。那么，它们合作飞行一次就需要63/16（天）。这个算法非常巧妙，我们的祖先是用比例的方法解决这个问题的。他们充分认识了比、分数、除数的相互联系，认识了比是数量之间的关系，分数是一种数，除法是一种运算，这是非常了不起的。
鸡兔同笼
一个笼子里有一些鸡和兔，现在只知道里面一共有35只头，94只脚，试问：鸡和兔各有多少只？
在中国，鸡兔同笼问题作为一类既有趣又重要的问题的代表，经常出现在各种数学书里，千百年来一直吸引着爱好数学的人去钻研。最早记录这个问题的，大约是在公元4-5世纪的《孙子算经》。
鸡兔同笼问题的解法是：设头数是a，脚数是b，则b/2-a是兔数；a-（b/2-a）是鸡数。这个巧妙的解法是怎样来的呢？鸡有两只脚，兔有四只脚，把脚数除以2，共有47对脚。由于鸡是一对脚，兔有两对脚，所以47中减去35，得12，也就是说，如果笼子里的动物都只有1对脚，就会多出12只脚来，这12只脚恰好是有2对脚的动物的，即有12只四脚动物，这当然就是兔子了。再用35个头减去12只兔子的头，剩下的就是鸡的头数。
如果用二元一次方程组来求解，就是，设鸡、兔数分别为X和Y：X+Y＝35，2X+4Y＝94。解这个方程组，既方便又简练。
奇怪的遗嘱
古印度，一位圣人临终前，把他的儿子们都叫到床前，立下了一份遗嘱：他共有17头牛，老大应得总数的1/2，老二应得1/3，老三只能得1/9。老人过世后，兄弟们商量如何分牛。但反复计算，也没有找出符合老人规定的分法，因为17的1/2是17/2；17的1/3是17/3；17的1/9是17/9。这三个数都不是整数，如果按这种分法，要活活杀掉两头牛，这在当时不允许。因为印度人非常崇拜牛，牛是不允许被宰杀的，而且也是不必要的。因此兄弟们请教了许多有学问的人，结果都表示爱莫能助。一天，一个老农牵着1头牛从这家门前经过，听说了这件事。他想了一会儿，便说道：“这容易，我把这头牛借给你们，你们按遗嘱的要求去分，分完后把这头牛给我就行了。”兄弟三人按照老农的说法一分，老大分得9头，老二分得6头，老三分得2头。分完之后，正好剩下了老农这头牛，自然就还给了他。
牛顿的牛吃青草问题
这是牛顿编写的一道既复杂又有趣的数学名题。有3块草地，面积分别为10/3顷、10顷和24顷。草地上的草长得一样厚且一样快。如果第一块草地可供12头牛吃4个星期，第二块草地可供21头牛吃9个星期，那么第三块草地恰好可以供多少头牛吃18个星期？牛顿经过潜心研究，发现了好几种不同的解法，但他认为如下这种比例解法更加有趣。
假定草地上的草被牛吃过以后不再生长，根据题中第一块地的条件推算，10顷草地可供8头牛吃18个星期或16头牛吃9个星期。但实际上青草被吃后还要生长，所以题中说：“10顷草地可供21头牛吃9个星期。”所以同样是10顷草地，同样是9星期，却可以多喂21－16＝5头牛。这也意味着9个星期后5周里，10顷草地又长出的草可供5头牛吃9个星期，或是2.5头牛吃8个星期。那么18周的后14周里，10顷草地上新长的草供多少牛吃18周呢？由5∶14＝2.5，便可算出是7头。如前所述，假设草不长时，10顷草地可供8头牛吃18周；而18周的后14周又生长出的青草可供7头牛吃18周。两者相加实际上是10顷草地可供15头牛吃18周。那24顷草地可供多少牛吃18个星期便容易算出了，十分明显，答案是36。
数学家们的墓志铭
大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，这是阿基米得生前最为欣赏的一个定理。数学家鲁道夫的墓碑上刻着圆周率的35位数值，这个数值被叫做“鲁道夫数”，这是他毕生心血的结晶。
最奇特的墓志铭要数古希腊数学家丢番图了。他的墓志铭是一道谜语般的数学题：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活上十二分之一，颊上长出了细细胡须；又过了生命的七分之一才结婚；再过五年他感到很幸福，得了个儿子；可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半；儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯。”幸亏有了这段奇特的墓志铭，后人才得以了解这位古希腊最后一位大数学家曾享年84岁，那么自然可以算出他何时结婚，何时得儿，何时儿子死亡。其年龄的算法是：设年龄为x，那么有x/6＋x/12＋x/7＋5＋x/2＋4＝x，解得x＝84（岁）。
玄机奥妙
这是一道选自我国明代珠算家程大位的《算法统宗》中的数学题。题的内容是：“甲赶羊群逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏间甲及一百否，甲说所云无差，若得这般一群凑，再添半群、小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”译成白话是：牧民甲赶着羊群向草茂盛的地方转移，牧民乙拉着一只肥羊在他后边走，乙边走边跟甲开玩笑：“你的羊够不够一百只？”甲说：“你说得没错，怎样凑上一百只呢？如果再有这么一群，然后再添上这群的一半，再添上一半的一半，最后再加上你那一只，这样就够一百只了。”牧民甲实际有多少只羊呢？我们可以设甲的羊群的只数为“1”，根据已知条件得出：1＋1＋1/2＋1/4＝11/4（倍）。11/4倍加上乙的那一只等于100只，由此可以得出（100－1）/（1＋1＋1/2＋1/4）＝99÷11/4＝36（只）。