藏盗问题
19世纪初，日本的柳亭中彦写了一本《柳亭记》，书中出现了许多被人们称为藏盗的数学题目，反映了日本对于古代方阵问题的研究有了进一步发展。其中有一题是：在中国和日本边界的中间，备有日本检查船只的关卡，那里有16人，哨所四角各有3个人，四边各有7个人，称7人哨所。有一次，8个海盗苦苦哀求把他们隐藏起来，哨所的队长想了一番，把哨所人员配置改换一下，居然把这些海盗隐藏起来，每边望去仍是7个人，于是人们将这类问题叫藏盗问题。那么，聪明的队长是怎么把海盗藏起来的呢？
原来，角上的一个人顶两个人，因为这个人在角上，从两个方向去数都需数他。因此在各边人数不变的前提下，无论是增加人或减少人，都要在角上想办法。这道题，16人每边7人，现在增加了8人，每边仍保持原人数，那么只要把四个角上各减少2个，挪到边中去就行了。
稀世珍宝
在东京珠宝收藏博览会上展出一棵18K金的圣诞树，在3层塔松形的圣诞树上共镶嵌有1034颗宝石。
这颗圣诞树上的宝石是这样摆放的：如果从顶上往下看，3层圆周上镶嵌的宝石数成等差级数递增；而3层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有1颗宝石是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？
假设3层圆周上的宝石数分别为A、B、C，则：
B=A+m，C=A+2m（m为等差系数）
因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设3层圆锥面上的宝石数为A、D、E，那么：
D=nA，E=n2A（n为等比系数）
由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：
A+A+m+A+2m+A+nA+n2A=1033
解此方程，只有一种可能：
A（n2+n+4）=1000
3m=33
根据m、n、A均为整数，得：
m=11
n=2
A=100
因此，宝石的镶嵌是这样的：
塔松顶上有1颗宝石；
第一层圆周上100颗宝石，圆锥面上100颗宝石；
第二层圆周上111颗宝石，圆锥面上200颗宝石；
第三层圆周上122颗宝石，圆锥面上400颗宝石。
卖鸡问题
（1）有一家养鸡专业户，一天，父亲让他的三个儿子到市场去卖鸡，父亲说：“这里有大鸡6只，小鸡84只，共90只，老大拿50只，老二30只，老三10只，鸡的价格你们三人商量，但是价格要一致，并且每人卖的钱必须一样多，都是50元。”那么三人各拿大、小鸡多少只，大、小鸡每只各多少元？
先从总数看，90只鸡共卖150元，可设小鸡每只x元，大鸡每只y元。
所以84x+6y=150元
上式除以3，得28x+2y=50，恰好是老二拿鸡数和应该卖的钱数，还剩下小鸡56只，大鸡4只。
如果老大拿的都是小鸡，那么每只小鸡1元，50只小鸡卖50元；老三拿6只小鸡卖6元，4只大鸡44元，每只大鸡11元；老二拿28只小鸡28元，2只大鸡22元，共50元，符合父亲的要求。
如果老大拿49只小鸡，1只大鸡，这样1只小鸡应卖57元（或说7只小鸡卖5元）。1只大鸡要卖15元。老大：49×57+15=50；老二：28×57+2×15=50；老三：7×57+3×15=50。这种分法和卖法也符合父亲的要求。
上面两种分鸡方案和卖法都可以，除此之外，再没有符合父亲要求的分鸡方案与卖法了。
（2）有一次，父亲叫过来两个儿子，对他们说：“这里有大一点的鸡30只，每两只卖20元；有小一点的鸡30只，3只卖20元。老大拿30只大鸡，老二拿30只小点的鸡。”兄弟二人到市场上按照定的价很快卖完了，老大卖了300元，老二卖了200元，共计500元给了父亲。
第二天，父亲又给老大30只大点的鸡，给老二30只小点的鸡，价格不变。兄弟二人到市场卖鸡去了，老二说：“哥哥，我有点事，今天你一个人卖鸡算了。”老大说：“一个人卖两种价格的鸡不方便，还是二人一起卖，卖完之后再去办事吧！”老二说：“这样卖鸡行不行，5只鸡卖40元。”老大一想，大鸡20元卖2只，小鸡20元卖3只，合起来正好是5只鸡卖40元，于是老大就同意了。老二办事走了，老大很快把鸡卖完了，结果只卖480元，少卖了20元。回家给钱看时，父亲见少了20元钱，大发脾气，认为他们乱花钱，等老大把卖鸡的情况告诉父亲，他也迷惑了，怎么会少卖20元钱呢？
事实上，5只一起卖，卖10次已将小点的鸡卖完了，剩下的10只鸡均为大鸡应卖100元，还按5只40元，因此少卖了20元。
三姐妹卖鸡蛋
一个卖鸡蛋的老妇，吩咐三个女儿到市场上去卖90个鸡蛋。她给聪明伶俐的大女儿10个鸡蛋，二女儿30个鸡蛋，三女儿50个鸡蛋，并说道：“你们先商量好价钱，然后就照定好的价钱卖。不能贱卖，而且三个人的卖价还必须相同。但是，我希望你们三个人卖鸡蛋所得的钱一样多。一句话，鸡蛋价钱要一样，卖得的钱也要一样多。除此之外，卖掉所有90个鸡蛋所得的钱不少于90戈比。”问：姑娘们如何完成交给她们的任务？
三姐妹一边朝市场走一边商量，二妹和小妹都请求大姐出主意，大姐想了想说道：
“妹妹们，咱们的鸡蛋这次不要像以前那样10个10个地卖，而要7个7个地卖，每个蛋是一份，每一份定一个价钱，就像妈妈吩咐的，一个戈比也不能少要，三个人都要遵守，每份卖3戈比，你们说怎么样？”
二妹说：“那可太便宜了。”
“不过，我们按7个鸡蛋一份卖完剩下的鸡蛋价钱可以提高。”大姐解释说：“我已经注意到，今天市场上卖鸡蛋的除了我们三人，再没有别人，不存在和我们争主顾的问题，当供不应求时，价钱自然就涨上去了。这样，咱们就是要在剩下的那些蛋上把钱赚回来。”
三妹问：“剩下的鸡蛋卖什么价呢？”
大姐果断地说：“每个鸡蛋要9戈比，就是这个价，急需的买主肯定会买的。”
二妹吃惊地说：“太贵了吧。”
“贵又怎么样，”大姐接着说，“咱们按7个一份卖的鸡蛋不是便宜了吗，有贱就得有贵。”
大家都同意了。
姐妹三人在市场上各自找好位置坐下来卖鸡蛋，由于价钱便宜，买主纷纷聚来，一会儿工夫，按7个一份卖的鸡蛋全卖完了。小妹卖了49个鸡蛋，得到21戈比，还剩下1个鸡蛋；二妹卖出28个鸡蛋，得到12戈比，还剩下2个鸡蛋；大姐只卖了一份7个鸡蛋，得到3戈比，还剩下3个鸡蛋，她剩的最多。
这时，市场上来了一位厨师，她是奉主人之命来买鸡蛋的，她的任务是买10个鸡蛋，因为主人的儿子回家来了，他又特别喜欢吃鸡蛋。厨师在市场上转了转，只看见三个卖鸡蛋的摊子，总共只有6个鸡蛋，必须把这些鸡蛋全买走，即便如此还差着数呢。
女厨师先跑到大姐的摊子前问：“这3个鸡蛋卖多少钱？”
“每个鸡蛋9戈比。”
女厨师十分惊讶，“你怎么了？发疯啦？要这么多钱！”
大姐平静地说：“随你怎么说，少一个钱也不卖，就剩这几个了。”
女厨师又跑到二妹的摊前问：“什么价钱？”
“9戈比一个，就这个价。”
女厨师最后去问小妹：“你的鸡蛋要多少钱？”
小妹回答：“9戈比一个。”
毫无办法，女厨师只好用高价买下了这仅有的6个鸡蛋，她分别付给大姐27戈比，二妹18戈比，小妹9戈比，这样，三姐妹前后两次各自卖鸡蛋所得的钱数都一样，每人30戈比。
三姐妹回到家里，每人交了30戈比给妈妈，并向妈妈详细讲述了卖鸡蛋的经过。母亲非常满意，她的女儿不折不扣地完成了她交付的任务，特别为大女儿的聪明机智感到高兴。
这个问题的解答十分巧妙，其想法突破了常规，将鸡蛋分为按份卖和按个卖两种形式，制定了两种价格。按个卖居然比按份卖价格高得多，以致一个鸡蛋的价格等于3份鸡蛋的价格。只有这样做才能使10个鸡蛋与50个鸡蛋卖上一样的价钱。
如何卖鸡蛋达到预期目的，这确实是个数学问题。必须要先后用两种价钱卖鸡蛋，关键是怎样分份，怎样定价。
如果每份2个鸡蛋或5个鸡蛋，就不存在有零散鸡蛋，份数多少不同，三人卖得的钱也不等。
如果每份3个鸡蛋，仅看30=3×10，50=3×16+2=（3×10）+（3×6+2），便可知二妹卖得的钱还不及小妹的一部分卖得的钱，所以这种分法也不行。同理，由于10=4×2+2，30=4×7+2=（4×2+2）+4×5，以及30=6×5，50=6×8+2=（6×5）+（6×3+2），也可知4个鸡蛋一份或6个鸡蛋一份的分法均不行。
如果每份7个鸡蛋，10=7×1+3，30=7×4+2，50=7×7+1。去掉其公共部分（1份零1个），三人分别剩的是2，7×3+1，7×6。
现在要让卖2个鸡蛋与3份零1个，或6份鸡蛋的价钱一样，即3份鸡蛋的价钱相当于1个鸡蛋的价钱，或说是1份鸡蛋是13个鸡蛋的价钱。这样的话，打算10个鸡蛋卖30戈比，那么每个鸡蛋卖价就是：
30÷（3+13）=9（戈比）
于是每份7个鸡蛋要卖3戈比。90个鸡蛋总共卖90戈比，符合原题要求。
正是据上述道理，大姐才提出卖鸡蛋的正确方案。
一百个和尚分一百个馒头
此题是明代珠算家程大位在其所著《算法综宗》中所设，题目是用诗歌表达的：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个？”我们可以用假设法。假如全是大和尚，应该分300个馒头，现只有100个馒头，缺200个，少200个的原因是因为有一群小和尚。小和尚3人分1个，一个小和尚吃1/3，比大和尚每人少吃8/3个，那么200个馒头中包含有多少个8/3呢？200∶8/3＝75，这75就是小和尚数。那么大和尚数就可想而知了。
换个角度思考此问题：如果这100个和尚全是小和尚，每3人吃一个，则一个吃1/3，100个和尚吃1/3×100＝100/3个。余下100－100/3＝200/3个馒头，每个大和尚吃3个，即每个大和尚比每个小和尚多吃3－1/3＝8/3个，用一个大和尚换一个小和尚时，就要多吃8/3，200/3∶8/3＝25（人）。这样，大和尚25人，小和尚75人。
检验：3×25＝75（大和尚吃的馒头数）；1/3×75＝25（小和尚吃的馒头数）；75＋25＝100。
克拉维斯算题
意大利数学家克拉维斯于1583年在《实用算术概论》中设了这样一道题：“父亲对儿子说：‘做对一道题给8分，没做对每道题不但不给分还要扣去5分。’做完26道题后，儿子得了0分，求儿子做对了几道题？”
这道题我们可以用两种不同的方法来解。第一种方法是列方程来解。设儿子做对了X道题，按题意列方程如下：8X－5（26－X）＝0；13X＝130；所以X＝10。那么做错的题就是26－10＝16（题）。
另一种方法是假设法。如果26道题全做对了，应该得8×26＝208分，这样，每错一题就不是扣5分，而是13分，儿子得0分，做错的题数应是（208－0）÷13＝16（题），这样就求出做对的题数了。用算术式来表达即为：
（8×26－0）÷（8+5）＝16（题）；26-16＝10（题）。
阿尔昆算题
英国数学家阿尔昆在《益智题》一书中曾出过这样一道题：有男子、女子、儿童共100人，分100把谷物，若每个男子得3把，每个女子得2把，儿童2人得1把，谷物恰好能分完。求男子、女子、儿童各有多少人？
我们可以通过列三元一次方程组来解这题。设有男子X人，女子Y人，儿童Z人。根据题意列出方程得：X＋Y＋Z＝100（1），3X＋2Y＋1/2Z＝100（2）。（2）式乘以2后减去（1）式得：5X＋3Y＝100。移项后求得：Y＝5/3（20－X）。人数应该是正整数，筛选后，得出以下结果：X（男人）17，14，11，8，5，2；Y（女人）5，10，15，20，25，30；Z（儿童）78，76，74，72，70，68。
欧几里得算题
几何学之父，古希腊数学家欧几里得曾出过这样一道题：螺子和驴驮着谷物并排走在路上，螺子在途中对驴子说：“如果把你驮的谷物给我一袋，咱俩驮的袋数就相等。”请你算一下，它们各自驮了多少袋谷物？我们可以做一下假设。如果螺子给驴一袋，二者就相等，说明螺子驮的谷物是驴的2倍。刚才我们分析，螺子比驴多驮2袋，驴子再给它一袋，螺子比驴多（2＋1＋1）＝4（袋），比驴子多4袋时，同时也是驴子的2倍，可见，这4袋谷物是驴子剩下谷物的1倍。所以我们可以通过计算得到所求的结果：驴子驮的代数为（2＋1＋1）÷（2－1）＋1＝5（袋）；螺子驮的代数为5＋1＋1＝7（袋）。
诸葛亮调兵
诸葛亮是人人知道的一个传奇式的人物。相传，他在“借东风”之后，名声大振。但吴将中仍有不少人不服气，觉得“借东风”不过是瞎猫撞上死耗子，因此，很想找个机会当面探探深浅。