数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂，因此在解综合题的全过程中，从分析探求思路，到优化实施解答，最后反思验证，结论都要以数学思想来统帅，在初中经常运用的数学思想有：转化思想、方程思想，数形结合思想与分类讨论思想。
1.运用转化思想巧解综合题
转化思想是一种最基本的数学思想，解决数学的基本思路就是把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把实际问题转化为数学问题，不同的数学问题之间相互转化，也体现了把不易探索、不易解决的问题转化为有章可循、容易解决问题的转化思想，我们在解题中应用的换元法、配方法等实质上是体现转化思想的具体数学方法，在解综合题中几乎没有一题不体现转化思想的运用。
例1若x、ｙ都是实数，且｜x2-9｜+2(x-3ｙ)2x2-7x+12＝0，求2x+3ｙ的值。
解：依题意，得
x2-9＝0
2x-3ｙ＝0
x2-7x+12＞0①
②
③
解①、②得：x＝3
ｙ＝2x＝-3
ｙ＝-2
将x＝3代入③不适合，舍去，而x＝-3适合③
∴x＝-3，ｙ＝-2，2x+3ｙ＝-12
说明：常规的二元二次方程的解是不定的，而此例条件中的方程很特殊，它利用非负数的性质转化为含有二元方程的不等式组。此时③是一元二次不等式，超出现行初中教学内容，但可以通过解①、②后，代入③进行检验，使问题得解。
例2设关于x的二次方程(a2+1)x2-4ax+2＝0的两根为x1，x2，若2x1x2＝x1-3x2，试求a的值。
略解：依题意，得x1+x2＝4aa2+1①
x1x2＝2a2+1②
由2x1x2＝x1-3x2，得
2x1x2+(x1+x2)＝2(x1-x2)
左右平方，得
4(x1x2)2+4x1x2(x1+x2)＝3(x1+x2)2-16x1x2
将①、②代入后，得
4×(2a2＋1)2＋4×2a2＋1×4aa2＋1
＝3×(4aa2+1)2-16×2a2+1
解得a=3,a=-1
当a＝3时，方程5x2-6x+1＝0两根为1、15，且x1＝1，x2＝15时满足题目条件。
当a=-1时，方程x2+2x+1＝0两根为-1，-1也满足题目条件。
∴a=3或a=-1。
说明：此例将一元二次方程两根的不对称式平方后通过配方转化为对称式，再利用根与系数关系构造关于a的方程，求出a值后必须检验它是否符合题意。
2.运用方程的思想巧解综合题
把未知转化为已知，常有两种思考路径。一种是从已知数量的运算求出未知，这种仅由已知数参与运算，逐步扩大已知量最终求得结果的方法常称为算术方法。另一种是通过设元，并把未知量运用到运算中去，抓住问题中的等量关系，构造方程或方程组，通过求解方程从已知探索未知，实现未知向已知的转化，这就是处理数学问题的方程思想。列方程解应用题就是培养方程思想的典型内容，待定系数法求函数的解析式也是方程思想的体现，这里就不再举例。下面举例说明方程思想在解几何综合题中的运用。
例1已知：如图4-18，AB是⊙O直径，点P在过点B的切线上。⊙O的割线PCD与AB交于Q，若CQ＝4，QD＝3，AQ＝2，求PB的长。
分析：由已知CQ，QD，AQ的长，想到相交弦定理，则可以求QB的长，这种思路与方法称为算术方法，即BQ＝CQ·QDAQ＝4×32＝6.
再计算PQ，算术方法就不易奏效，由四个已知数的运算不易求出图中的某条未知线段，因此要通过设元，设PB＝x，PC＝ｙ。并让它们也参与运算，如PQ＝ｙ+4，再抓住等量关系构造方程、方程组。在Rt△PQB中，由勾股定理得PQ2＝QB２＋PB2，即(ｙ+4)2＝36+x2。由切割线定理得PB2＝PC·PD，即x2＝ｙ(ｙ+7)。
解方程组(x+4)2＝362+x2
x2＝ｙ(ｙ+7)得ｙ＝20
x＝±615
∵x＞0
∴x＝-615舍去，可得PB＝615
这就是我们所讲的运用方程的思想实现未知向已知的转化。
解：略。
例2已知：如图4-19，正方形ABCD，边长为1.以A点为圆心，以AD为半径作BD；以点D为圆心，以DA为半径作AC，⊙O与AC，BD及AB分别相切于M、N、E点，求⊙O的半径。
分析：用方程的思想解题，关键在分析等量关系，通过设元，建立方程，解出未知数。
本题中⊙O与⊙A内切于N。则点N在AO的延长线上，⊙O与⊙D外切，则M在OD上，由于⊙A、⊙D半径都是已知数1，因此AO、DO都是建立等量关系不可缺少的线段。⊙O与AB相切于E，则过切点的半径OE是常规辅助线OE⊥AB，∠A＝90°，则图中出现以OE为所求，AD为已知的直QE梯形，正是建立等量关系的基本图形。
略解：连OE，OD，AN，作OF⊥AD于F。
4-20
设⊙O半径为r，则OE＝r，AO＝1-r，OD＝1+r
易证四边形AEOF为矩形，∴AF＝OE＝r
由勾股定理，得AO2-AF2＝OF2＝OD2-DF2
可得方程(1-r)2-r2＝(1+r)2-(1-r)2
化简整理得6r=1
∴r＝16
3.运用数形结合的思想巧解综合题
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，运用对立统一的规律，数与形既相互影响，相互渗透，又形成了研究数形关系的数学方法，数形结合是研究数学的重要数学思想方法，它的实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象研究直观的细节，正如著名数学家华罗庚先生所说的“数缺形时少直觉，形少数时难入微”。因此我们在解数学题时要有意识地运用数形结合的思想，特别是在解代数几何综合题时要经过由形到数、由数到形的多次反复，寻求最佳的解题路径。
例1
在直角坐标系xoy中，点A(m，-6)，m＜0，点B(n，-4)，n＞0，且∠AOB＝90°，直线AB与ｙ轴交于C，设∠AOC＝sinα·cosα=0.48，求直线AB的一次函数解析式。
分析：题意如图4-21，作AA′⊥x轴于A′，作BB′⊥x轴于B′
设∠AOA′＝β。这样就把直角坐标系中的坐标条件转化为图中的几何条件，即AA′＝6，BB′＝4，OA′＝｜m｜，OB′＝n
又∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOB′＝90°
∴∠BOB′＝a
∴α+β＝90°
∴cosα=sinβ
则sinα·cosα=sinα·sinβ
＝BB′OB·AA′OA＝24OA·OB＝0.48
∴OA·OB＝50，则S△ABO＝25
由结论考虑，要求直线AB的一次函数解析式，则要求点A、点B的坐标，即要求m、n的值，因此又要由“形”来求“数”。
略解：∵S△AOB＝25，Rt△AOA′∽Rt△OBB′
∴AA′OB′＝OA′BB′
∴mn＝-24。
又由面积关系有：
(AA′+BB′)·A′B′2
＝12×AA′·OA′+12×OA·OB+12×BB′·OB′
∴5(n-m)=-3m+25=2n
化简得3n-2m=25
解方程组mn=-24
3n-2m=25得m1=-8
n1=3或m2＝-92
n2＝163
∴点A(-8，-6)，B(3，-4)时，或点A(-92，-6)，点B(-16〖〗3，-4)
当点A(-8，-6)，B(3，-4)时，由待定系数法可得直线AB的一次函数解析式为ｙ＝211x-5011
当点(-92，-6)，B(163，-4)时，由待定系数法可得直线AB的一次函数解析式为ｙ＝1259x-30059
例2若方程ax2-2x+1＝0(a＞0)的两根满足：x1＜1，1＜x2＜3，求a的取值范围。
解：原方程化为x2-2ax+1a＝0(a＞)
设ｙ＝x2-2ax+1a(a＞0)
依题意，画示意图。
x＝1时，ｙ＜0①
x＝3时，ｙ＞0②
①与②组成不等式组
1-2a+1a＜0(a＞0)
9-6a+1a＞0
整理得：a-1＜0
9a-5＞0,解得a＜1
a＞59
∴59＜a＜1
说明：此例给出的解法，是利用二次函数图象来解决一元二次方程根的分布问题。由于a＞0，所以抛物线开口向上，由于x1＜1，1＜x2＜3，在图中点(x1,0)位于点(1，0)左侧，点(x2，0)位于点(1，0)与点(3，0)之间，由图象可以看出当x＝1时，ｙ＜0；当x＝3时，ｙ＞0。依形构造不等式组，使问题得解。
4.运用分类讨论思想巧解综合题
当a是实数时，化简a2要分为a≥0与a＜0两种情况，因为不同的情况有不同的结果；在证明圆周角定理、弦切角定理时，尽管有相同的结论，但要分为直角、锐角、钝角三种情况证明，因为证明的方法在不同情况下是不同的，这些都蕴含了一种数学思想，叫做分类讨论的思想。分类讨论思想是一种重要的数学思想，在解综合题时经常用到。在同一个题设前提下，不同的情况可能产生不同的结果，不同的情况有不同的处理方法，这时都要运用分类讨论的思想。运用分类讨论思想解题最重要的是做到“不重”、“不漏”，保证分类的科学性与合理性。
例1已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-1＝0的两实根为x1、x2，且x1>x2，求一个关于x的一元一次方程，使它们两根为｜x1｜、｜x2｜。
解：依题意，得△＝4-4(m-1)＞0,即m＜2
∵｜x1｜·｜x2｜＝｜x1｜·｜x2｜＝｜m-1｜
∴对m应分以下三种情况讨论：
当m=1时，原方程x2+2x＝0两根为x1＝0，x2＝-2
∴所求方程为x2-2x＝0
当m＜1时，x1+x2＝-2，x2x2＝m-1＜0
∴｜x1｜·｜x2｜＝1-m
｜x1｜+｜x2｜＝)｜x1｜+｜x2｜)2
＝(｜x1｜+｜x2｜)2+2｜x1｜·｜x2｜-2x1x2
＝22-m
∴所求方程为x2-22-m·x+1-m=0
当1＜m＜2时，x1+x2＝-2，x1x2＝m-1＞0(x1＜0，x2＜0)
∴｜x1｜·｜x2｜＝m-1，
｜x1｜+｜x2｜＝-x1-x2＝2
∴所求方程为x2-2x+m-1=0
说明：当由一元二次方程根的判别式得到m＜2后，怎么想到分m＝1、M＜1、1＜m＜2三种情况讨论是本例的难点。由根与系数关系得｜x1｜·｜x2｜＝｜x1x2｜＝｜m-1｜，要想化去绝对值符号，先找使｜m-1｜＝0的特殊m值，即m＝1，而1把m＜2分为m＜1、m=1、1＜m＜2三部分。注意掌握此种分类方法。
例2已知：一次函数ｙ＝x+2的图象与x轴交于点A，与正比例函数ｙ＝kx的图象交于点B，若∠ABO＝30°，求AB的长及k值。
分析：易知直线y=x+2经过第一、二、三象限。设直线y=x+2与y轴交于点D，易求DO＝AO＝2，所以∠ADO＝45°.对于函数y＝kx的图象来说，当k＜0时，交点B在第二象限，此时∠ABO＞∠BDO，所以∠ABO≠30°。当k＞0时，点B在第一或第三象限，都具有∠ABO＝30°的情况。因此也要分类讨论。
解：设直线y=x+2与ｙ轴交于点D，则D(0，2)；与x轴交于点A，则A(-2，0)。
∴AO＝DO，∠ADO＝∠DAO＝45°
∵直线ｙ＝x+2经过第一、二、三象限，若k＜0，点B在第二象限，则∠ABO＞∠ADO
∴∠ABO≠30°
∴k＞0，则点B在第一或第二象限.
①当点B在第一象限时，如图4-23，
图4-23
作OC⊥AD于C，
∴OC＝2，AC＝2
在Rt△BOC中，
∵∠CBO＝30°
∴BC＝3·OC＝6
AB＝AC+BC＝2+6
作BB′⊥x轴于B′，
在Rt△ABB′中，B′B＝AB·sin45°
∴BB′＝(2+6)·22＝3+1
AB′＝BB′＝3+1
OB′＝AB′-AO＝3+1-2＝3-1
∴点B的坐标为(3-1，3+1)
∵点B在ｙ＝kx图象上，
∴3+1＝k(3-1)
∴k＝3+13-1＝2+3
②当点B在第三象限时，如图4-24，作OC⊥AD于C，OC＝2
在Rt△BOC中，
∵∠CBO＝30°
∴CB＝6
∵AC＝2
∴AB＝6-2
作BB′⊥x轴于B′
∵∠CAO＝∠BAB′＝45°
∴BB′＝AB·sin45°
＝(6-2）·22
＝3-1
∴AB′＝BB′＝3-1
OB′＝OA+AB′＝2+3-1＝3+1
∴点B坐标为(-31，1-3)
∵点B在ｙ＝kx图象上，
∴1-3＝k(-3-1)
∴k＝3-13+1＝2-3
综上所述，当点B在第一象限时，AB＝6+2，k＝2+3；当点B在第三象限时，AB＝6-2，k＝2-3。
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