1963年，曾在洛斯阿拉莫斯从事早期原子弹研制性工作的卓越数学家斯坦尼斯劳·乌拉姆在一片纸上随意写出一串数字，它们是连续的整数，从1开始呈方形螺旋地向外扩展：使他震惊的是，草笺中的素数——我已用线标了出来——都落在了对角纸上。乌拉姆受到这种偶然发现的鼓舞便与两个助手马克·韦尔斯和迈伦·斯坦一起研究从除了1之外的整数开始的方形螺线。从41到44的整数也构成了一个螺线。同样，素数也常常落在对角线上。从421至383这条长对角线与由欧拉的n2＋n＋41的公式所得出的素数是相对应的。
1963年，洛斯阿拉莫斯的马尼艾克二型主机储存了前9000万个素数。“在洛斯阿拉莫斯我们也有一台第一流的图解计算设备，”韦尔斯回忆说，“因此我们对用计算机绘出素数图式感到异常激动。”马尼艾克二型为1000万以下的所有素数都绘出方形螺线图。果然，许多数都神奇地出现在对角线上。
欧拉公式n2＋n＋41在n为大数值时证明有令人震惊之效。马尼艾克二型计算出，在1000万以下的所有素数中，该公式可得出占总素数的47．5％。而当n值较低时，该公式工作得更有成效。当n值小于2398时，得素数的机会一半对一半。而当n值小于100时，该公式得出86个素数，合成数只有14个。
乌拉姆和助手们还发现了其他几乎与欧拉公式同样有效的生成素数的公式。公式4n2＋170n＋1847计算1000万以下素数的成功率为46．6％，并得出760个欧拉公式所不能推出的素数。公式4n2＋4n＋59的成功率为43．7％，同时得出大约1500个不能由其他两个公式推出的素数。
最奇怪的是，虽然这些公式都有很高的成功率，虽然在方形螺线中存在明显的对角线规则，但数理论家已证明与欧拉公式相仿的公式无一能生成全部的素数，或除素数外别无他物。但这一证明并未阻止浪漫主义者寻找素数的模式。
在100以内的数字中有25个素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89和97。这些连续的素数（以及随后无限多的素数）之间的间隔并无明显的范式可循。由于2是惟一的偶数素数，2与3也是惟一一对只相差1个的素数。
相差2的素数——被称为孪生素数——又如何呢？在前25个素数中有8对孪生素数：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31），（41，43），（59，61）和（71，73）。大约150年来，数字理论家就推测过，孪生素数就像素数本身一样是无限多的，但还没有人能证明这一点。在1966年，研究取得进展，那时，中国数学家陈景润证明：在只相隔两个的无穷对数字中：第一个数为素数，第二个数也是素数或是两个素数的积。（为两个素数之积的数被称为“殆素数”，这一叫法既表明了数学家们不可抑制的乐观主义，又证明了真正素数的发现之难。）
乐观主义的另一表现是：陈先生证明了哥德巴赫猜想的较无力那一面的说法：每个“充分大”的偶数是一个素数和一个殆素数之和。“充分大”是素数文献中对“我知道我的证明对比某数Q大的所有数都有效，但我不知道Q是多少”的婉语。虽然短语“充分大”一词模糊不清，数学家们仍然认为陈的证明是过去30年来对素数理论意义最为重大的发现。
人们对素数之间离得多开比素数如何相互靠近知道得更多一些。的确，很容易证明存在任意长的非素数的连续数列。让n！表示1到n的所有整数的乘积。这样，n！就可以被从2到n的每个整数整除。试想一下n！＋2，n！＋3，n！＋4，……n！＋n的连续数列。这时，数列中的第一项n！＋2则可被2整除；第二项n！＋3可被3整除；第三项n！＋4可被4整除；等等。在这个数列中有n-1个数，没有一个是素数。通过任意选择n的大小，你可以得出你想要的无素数的连续整数数列。
但也有大量的长串素数数列。事实上，数理论家认为素数可以形成漫长的等差级数（由同样差分开的素数数列）。较短的等差级数是容易发现的。例如，素数3，5和7构成3项差额同为2的等差级数（1944年，有人证明有无限组等差级数的3个素数）；素数199，409，619，829，1039，1249，1459，1669，1879和2089构成一个10项共同差额为210的等差级数。至于更长的级数，由于初始的素数和共同差额急剧上升，因而难于发现它们。然而，1983年，保罗·普里查德在康奈尔发现了19个呈等差级数的素数；初始素数为8297644387，共同差额为4180566390。
一些数学家甚至推测存在任意长连续素数的等差级数。例如，连续素数1741，1747，1753和1759构成4项差为6的等差级数。然而，现在还没人能证明这一猜想，更不必说素数不必是连续的等差级数这一根据相对不足的猜想了。
对于素数，我们知道什么又不知道什么？对此可写一篇长篇论文。再举一个简单例子就足已。有人已证明在比1大的任何数和其倍数之间至少有一个素数，这个证明的一个令人震惊的后果是：在n位数中至少有3个素数——n可为任何正整数，但无人知道在任何比1大的数的平方和其相邻数平方之间是否有一个素数。
既然素数本身没有已知的模式可循，那么数学家在努力证明它们时明显显示出杂乱无章也许是惟一合适的做法。某些基本定理——如有无限多的素数，它们之间有任意长的间隔——已简单明了地得以证明。其他定理，如哥德巴赫猜想依然有待证明。虽然没有一个自重的数学家对其正确性表示怀疑。为取得进展，数理论家采用了证明关于“殆素数”和“足够大的数”的办法。这一领域需要出现另一个欧几里得或欧拉。在那之前，我们可能依然处于这种奇妙的状态：依赖于秘密通讯的政府和工业继续从数学家的无知中获利。
对数理论有兴趣的读者不妨对这些未被证明的猜想动动手和计算器。如果猜想是正确的，证明工作可能会采用技术数学的成果，这是门外汉所做不到的。但如果与所期望的相反，它们碰巧是错的，全部所需要的则是一个反例。据历史记载，那些最具数学头脑的人也会出错。欧拉声称，1个5次方的数决不会等于两个5次方的数、3个5次方的数或4个5次方的数之和。（换句话说，不存在满足等式x5=y5＋z5条件的整数x、y和z；不存在满足等式a5=b5＋c5＋d5条件的整数a，b，c和d；也没有满足等式m5=n5＋o5＋p5＋q5条件的整数m，n，o，p和q。）两个世纪后的1966年，这一断言受到驳斥，因为发现了一个反例：144的5次方正是另外4个5次方的数——即27，84，110和133之和。
如果推断未获证明的猜想不是你的事，考虑考虑某些数也许是。但不要再犯哈迪的错误：早早地就把出租车号斥为无趣的。