1.算术
我们通常所说的算术一般有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术算的上是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了劳动人民在许多世纪的活动中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数1，2，3，4……是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法，主要起源于印度，时间大概在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，可以明显看到我国古代算术思想的影响。
19世纪中叶，德国数学家、语言学家和社会活动家格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其他命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。
以上可以看出算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其他分支的最坚实的基础。
2.初等代数
初等代数作为中学数学课程主要内容，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组（主要是一次方程组）；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
早在古巴比伦（公元前19世纪-前17世纪）就已经解决了一次和二次方程问题。欧几里得的《几何原本》（公元前4世纪）中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》（公元1世纪）中就有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术（李冶《测圆海镜》）是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
关于代数学符号发展的历史，大致可分为三个阶段：第一个阶段为公元3世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，用文字叙述，称为文字叙述代数；第二个阶段为公元3世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算逐渐采用了缩写的方法，称为简化代数。丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其他地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直持续到了15世纪；第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。16世纪的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经改进后成为现代的形式。
“＋”“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡儿第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”“≯”“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。
其实，在历史上，数的概念的拓展，并不完全是由解代数方程所造成的，但人们习惯上还是把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。从公元前2世纪（西汉时期）起，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
3.高等代数
到了高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
关孝和（日本人）在1683年最早引入了行列式概念。而关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比（C.G.J.Jacobi）1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯雷在1855年引入了矩阵的概念，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的研究报告》。
到了19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了上千篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。
多项式代数的研究开始是对3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题。1540年，费尔拉里成功地发现了一般4次方程的代数解法。人们继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在200多年中并未有明显的突破。
1746年，达朗贝尔第一次给出了“代数学基本定理”的证明。这个并不算完善的定理断言：每一个实系数或复系数的n次代数方程，至少有一个实根或复根。因此，一般地说，n次代数方程应当有n个根。1799年，22岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一个严格的证明。1824年，22岁的阿贝尔证明了：高于4次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根。1828年，年仅17岁的伽罗华创立了“伽罗华理论”，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。
4.数论
数论以正整数作为研究对象，虽然可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其他数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
早在公元前3世纪，《几何原本》中就曾讨论了整数的一些性质。欧几里得证明素数的个数是无穷的，还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的草纸上，依次挖去2、3、5、7……的倍数（各自的2倍，3倍，……）以及1，在这筛子般的草纸上留下的便全是素数了。
当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》（公元4世纪）中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。
丢番图的《算术》中给出了求x2＋y2＝z2所有整数解的方法。费尔马则指出xn＋yn＝zn在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》（1801年）形成了系统的数论。
数论的古典内容基本上不借助于其他数学分支的方法被称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论、几何数论（研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”——“空间格网”）。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。20世纪出现了完备的数论理论。
5.抽象代数
哈密顿（Hamilton，W.R.）在1843年发明了一种使乘法交换律不成立的代数——四元数代数。1843年10月16日，他和妻子沿着皇家运河散步时，突然一个念头像闪电般出现，即，这么样处理四元数a＋bi＋cj＋dk中i、j、k三者的乘积：i2=j2=k2=ijk=-1。
他是那么的兴奋，于是用小刀在布尔罕桥上的石头刻上最初出现的公式。四元数在数学史上的重要性在于：把代数学从束缚于实数算术的传统中解放出来。
第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯雷设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数（也叫近世代数）的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定（与其余假定是相容的），就能研究出许多种代数体系。
1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
1926年，诺特完成了理想（数）理论；1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要的若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。典型的代数系统有群、环、域等，它们主要起源于19世纪的群论，包含有群论、环论、伽罗华理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其他分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量（或n元有序数组）、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。
几何学范畴
1.初等几何
在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形（点、线、面、角、圆等）在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其他性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪的，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便已形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年（约公元前1100年左右）的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派（公元前6世纪），虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。
19世纪以来，人们对于关于三角形和圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。至今这一研究领域仍然没有到头，不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。
2、射影几何
射影几何学是几何学的一个分支，是一门讨论在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的一门几何学。幻灯片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变成另一组图形，这在数学上就叫做射影对应。射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。
射影几何是由迪沙格和帕斯卡二人于1639年开辟的。1639年，迪沙格发表了—本关于圆锥曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理，这些课题是今天学习射影几何这门课程的人所熟悉的。而年仅16岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定理，并于9年后写了一份内容很丰富的手稿。18世纪后期，提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法，因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长的、麻烦的算术运算。