但是，射影几何真正独立的研究是由彭赛勒开创的。1822年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给该领域的研究以巨大的推动作用。他的许多概念被斯坦纳进一步发展。1847年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使射影几何最终从测量基础中解脱出来。
后来证明，采用度量适当的射影定义，能在射影几何的范围内研究度量几何学。将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中，就能得到传统的非欧几何学。在19世纪晚期和20世纪初期，对射影几何学作了多种公设处理，并且有限射影几何也被发现。事实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过渡到欧几里得几何，其间经历了许多其他重要的几何学。
3、解析几何
解析几何是中学生比较常见的一种，解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
我们大家都能感觉到，在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。
而解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。
就在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马也在开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，而后者是几何学的一种方法。
1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。
这门课程达到现在课本中我们熟悉的形式，是100多年以后的事。像今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。
解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。
4、非欧几何
一般来说，非欧几何包括三种不同的含义：狭义的，单指罗氏几何；广义的，泛指一切和欧氏（欧几里得）几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得的第五公设（平行公设）在数学史上占有特殊的地位，它与前4条公设相比，性质显得太复杂了。它在《几何原本》中第一次应用是在证明第29个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其他公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于1826年，鲍耶于1832年分别发表了划时代的研究成果，共同开创了非欧几何。在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其他公设。
1854年，黎曼推出了另一种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线平行的直线可引”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其他公设。1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。
非欧几何的发现不仅最终解决了平行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧氏几何的其他公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。他指出：每种不同的（两个无限靠近的点的）距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。1872年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。
19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。1899年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性（无矛盾性）、独立性和完备性的普遍原则。按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了。
5.拓扑学
1736年，欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D 4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
庞加莱（1954-1912），法国人，是19世纪后期的领袖数字家，被称为“最后一位数学天才”。给后人留下了著名的“庞加莱猜想”。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
庞加莱于1895-1904年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。他把欧拉公式推广为欧拉—庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。
拓扑学开始是几何学的一个分支，在20世纪得到了极大的推广。1906年，弗雷歇发表博士论文，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。在这个基础上，产生了点集拓扑学。在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。
分析学范畴
1.微积分
所谓微积分学是微分学和积分学的统称，它是研究函数的导数、积分的性质和应用的一门数学分支学科。
微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。现在的微积分学的教程，通常的讲授次序是先极限、再微分、后积分，这与其历史发展顺序正好相反。
在微积分历史中，最初的问题是涉及计算面积、体积和弧长的。阿基米德（公元前3世纪）的方法最接近于现行的积分法。在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。牛顿和莱布尼茨分别进行了创造性的工作，各自独立地跑完了“微积分这场接力赛的最后一棒”。
1609年，开普勒为了计算行星运动第二定律中包含的面积，和在他的论文中讨论的酒桶的体积，而借助了某种积分方法。1635年，卡瓦列利发表了一篇阐述不可分元法的论文，提出卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有价值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系统化，并作了推广。
微分起源于作曲线的切线和求函数的极大值或极小值问题。虽然它的起源最终可以追溯到古希腊，但是第一个真正值得世人注意的先驱工作，应该是费尔马1629年陈述的概念。1669年，巴罗对微分理论做出了重要的贡献，他用了微分三角形，很接近现代微分法。一般认为，他是充分地认识到微分法为积分法的逆运算的第一个人。
至此，还有什么要做的呢？首要的是，创造一般的符号和一整套形式的解析规则，形成可以应用的微积分学，这项工作是由牛顿和莱布尼茨彼此独立地做出的。接着的工作是在可接受的严格的基础上，重新推导基本理论，这必须等到此课题想到多方面应用之后。柯西和他的后继者们完成了这一工作。