帕斯卡三角形是数字与几何学相结合的最经典的例子。你能发现帕斯卡三角形的规律吗？请你将第十五行补充完整。
帕斯卡三角形一个显著的特点就是：它第n行（顶行作为第0行）的数字分别为（a b）n这个式子展开之后各项的系数。比如（a b）2=1a2 2ab 1b2（见下图）。
请你试写出（a b）6展开之后的式子。
[答案：帕斯卡三角形里的每一个数字都等于它左上角和右上角的数字之和。]
拿破仑三角形
对于法国人来说，拿破仑·波拉巴这个妇孺皆知的名字是他们的骄傲。拿破仑出身于科西嘉岛。1793年，24岁的拿破仑在土仑战役中崭露头角，打了一个大胜仗。
“谁在土仑打胜仗啦？”法国人都在问。
“炮兵上尉拿破仑·波拉巴。”知道情况的法国人骄傲地回答。
“我们从来没听过这个名字。拿破仑长得什么样子呀？长得一定挺帅的吧。”太太小姐们问。
“不，拿破仑是个矮子。”
一夜之间，拿破仑就成了家喻户晓的英雄。拿破仑是个天才的军事家，在接下去的几次战役中，拿破仑所向披靡，风头出尽。当他指挥着法国部队翻过阿尔卑斯山时，他已赫赫有名，并登上法兰西第一帝国皇帝的宝座。他几次打垮了欧洲的封建君主们的反法联盟，并把大半个欧洲置于他的帝辇之下。
1812年，法国军队踏进了莫斯科。然而铺天盖地的暴风雪，把踌躇满志的拿破仑的美梦压碎了。面对坚壁清野的俄国人，法国兵陷入了饥寒交迫的绝境。而当法国兵退出空城莫斯科时又遭到俄国名将库图佐夫的毁灭性打击。不久，失败的拿破仑被流放到厄尔巴岛。据说他此时写了一段回文：“ABLEWASIEREISAWELBA。”（可译为：在我看见厄尔巴之前，我可是非常能干的。）
不久，他又复辟，但又在滑铁卢被打败了（这次又是电闪雷鸣、暴雨如泣的恶劣天气帮了他的对手的忙。），拿破仑又被流放到圣·赫勒钭岛，1821年死于慢性砷中毒。
由于拿破仑是炮兵军官出身，所以他的几何与三角都学得相当好，在绚丽的数学大花园中，就开着一朵以他的名字命名的小花。
以任何三角形ABC的三边为边向三角形外侧（或内侧）作正三角形ABC′、BCA′、CAB′，这三个正三角形的中心分别为P、Q、R，则△PQR是正三角形。当所作三个正三角形在△ABC外侧时，△PQR称外拿破仑三角形；而当它们位于△ABC内侧时，则称内拿破仑三角形。
这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。
连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。
类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形。
拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。
拿破仑三角形还可作如下推广：
以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。
外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。
这题的证法与前面类似。
利用高中三角知识还可证明：
三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。
含义丰富的0
0，通常表示什么也没有。但实际上零表示的意义非常丰富。
0不但可以表示没有，也可以表示有。电台、电视里报告气温是0度，并不是指没有温度，而是相当于华氏表32度，这也是冰点的温度。0还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0—发射”。0在数轴上作为原点，也是起点的意思。0还可以表示精确度。如在近似的计算中，7.5与7.50表示精确程度不同。
在实数中，0又是正数与负数间的唯一中性数，具备下面一些运算性质：
a 0=0 a=a
a-0=0-a=-a
0×a=a×0=0，0÷a=0，（a≠0）
0不能作除数，也没有倒数；
0的绝对值和相反数都是0；
任意多个0相加和相乘都等于0.
0在复数中，是唯一辐角没有定义的复数。0还没有对数。现代电子计算机用的二进制中，0还是一个基本数码。
在0发明之前，我们祖先记数的方法是繁琐而不完善的，要记一个大数就要将某些符号重写许多次。
在采用了阿拉伯数码，而没有0这个符号时，前人将几个数之和表示为：1345，这种表示就会产生误解，或是一百零三万四百零五，或是一千三百四十五。于是用打格的办法来区分：1（）3（）4（）5，空的地方表示空位。但这又使运算变得很麻烦。采用0后，就可以简洁地写成：1030405.因此，没有采用0之前，可以说记数法是不完整的。
0是数学中最有用的符号之一，但它的发明是来之不易的。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用0；中国古代用算筹运算时，怕定位发生错误，开始用代表空位，为书写方便逐渐写成〇。
公元2世纪，希腊人在天文学上用〇表示空位，但不普遍。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了0.
一公斤大米多少粒
年轻的女教师给每组发了一包一公斤的大米，并让各组测出1公斤大米包含多少粒米？可以用老师提供的小天平，小杯子，但不能一粒一粒数。
孩子们很兴奋，捧着各种工具忙开了。课堂看起来热闹，但每组的操作都非常有序。学生们先凑在一起讨论并制订测量方案，准备测量工具，差不多5分钟后，他们开始分工合作。基本上都是一个负责测量，一个负责记录，还有一个负责写最后的报告，并不时地交流意见。
第一组选了一个小杯子作工具，先装满一杯米，数出一杯米所包含米粒的数量，然后看1公斤能装几杯，最后算出总的数量。另外一组用了个小天平，先称出100克米，然后数出有多少米粒，最后再乘以10.反正各组有各组的办法。
离下课还有10多分钟的时候，每组都交上了一份详细的报告书，包括测量的方法，用到的工具，过程，得出的结论，还有遇到的困难，等等。接着，老师对各组的作业进行简单地讲评，肯定了做得好的，对做得不好的，也是鼓励多于批评。
授课老师过来跟我们解释，这节课用这样的形式上，并不是浪费时间，让学生掌握比率的运算，掌握使用天平和其他测量工具的方法，都太抽象，老师必须设计出有趣的生活问题让学生体会，同时也要让孩子学会与人相处。
同学们，你们有更好的计算方法吗？
年龄漫谈
1978年初，我国前科学院院长郭沫若因病住进北京医院诊治。数学家华罗庚前去探望，两人谈起寿称问题。华罗庚向郭沫若询问，古人对高寿人常给以美称，如花甲、古稀等等。但如果年龄未到整数，比如七十七岁，八十八岁，九十九岁，怎么称呼呢？郭老回答道：
“解决这个问题，就要求助于数学和文字学了。”
郭老接着说：
“有人把七十七岁称为‘喜寿’，八十八岁称为‘米寿’，九十九岁称为‘白寿’。原来这是三个字谜。喜字，草写，是由七十七三个字组成；米字是由八十八三个字组成；白字是百字缺一，正好九十九。”
华罗庚听了郭沫若的一番解释，拊掌笑道：
“人说郭老博学多闻，此言果然不虚。”
毛泽东主席晚年常念叨一句俗谚：
“七十三、八十四，阎王不叫自己去。”
有人说七十三岁是孔子逝世的年龄，八十四岁是孟子去世的年龄，因而七十三、八十四是不祥之数。这样的说法当然是迷信。不过，不能把上述这种谚语看成是一种迷信。因为它是人们从千百年来生活实践中总结出来的，反映了一定的人体生物规律，应该从人体生理病理学的角度加以研究。查一查人口档案，可以发现在七十三岁、八十四岁前后去世的人数，确实要比七十至八十、八十至九十这两个年段中其他年龄去世的人数要多，这两个“关卡”是值得进一步去研究的。
有一种研究的成果认为，生命的节律是以七、八的倍数呈现的，逢到这样的年头，人体总会有些消极变化，而这种变化愈老持续的时间愈长。按照这样的理论，七十三岁，实足年龄正好是七十二岁，而八十五岁，实足年龄为八十四岁。
这里出现的8或7，正在“关卡”之上。中国历来有更年期的说法，即女子为“七七四十九”岁，男子为“八八六十四”岁，已成为民间传统的生理常识。而49、64分别是7和8的倍数。这些说法虽不能说确实可靠，但可供参考。
运动场上的数学
足球运动员开球或发球时，对方球员必须离足球9.15米以上。为了表示这个范围，人们就在足球场中央画个“中圈”，每场比赛都从这里开球。罚球时，也是这样。以罚球点为圆心，向外画罚球弧，半径也是9.15米。这9.15米有什么根据吗？原来足球运动起源于英国，英国人用的长度单位是“码”。当初规定开球、罚球时，对方运动员必须离足球10码以外。而1码等0.9144米，约合0.915米。10码换算成公制，长度就是9.15米。
拳击比赛，优胜者不论得到多少分，都以20分计算，而失败者的得分则需代入下列公式计算：
失败者得分=20——（优胜者实际得分÷3）。
例如，优胜者实际得18分，失败者的得分就是：
20——（18÷3）=20——6=14（分）。
如果胜利者的得分不是3的倍数，计算时先要把它的得分适当进行增减，使它成为3的倍数，然后再代入公式计算。比如，胜利者得16分，则先将16变为15，再代入公式，即得：
20——[（16——1）÷3]=20——15÷3=20——5=15（分）。
即失败者得15分。
美国布鲁克林学院物理学家布篮卡对篮球运动员投篮的命中率进行了研究。他发现篮球脱手时离地面越高，命中率就越大。这说明，身材高对于篮球运动员来讲，是一个有利的条件，这也说明为什么篮球运动员喜欢跳起来投篮。
根据数学计算，抛出一个物体，在抛掷速度不变的条件下，以45°角抛出所达到的距离最远。可是，这只是纯数学的计算，只实用于真实的条件下。而且，抛点与落点要在同一个水平面上。而实际上，我们投掷器械时并不是在真空里，要受到空气阻力、浮力、风向以及器械本身形状、重量等因素的影响。
另外，投掷时由于出手点和落地点不在同一水平面上，而形成一个地斜角（即投点、落点的连线与地面所成的夹角）。出手点越高，地斜角就越大。这时，出手角度小于45°，则向前的水平分力增大，这对增加器械飞行距离有利。下面是几种体育器械投掷最大距离的出手角度：
铅球38°～42°；
铁饼30°～35°；
标枪28°～33°；
链球、手榴弹42°～44°。
为什么人们不喜欢“13”
人们不喜欢13这个数。上海人讲“十三点”，是一句骂人的话，意思是“呆头呆脑”、“傻里傻气。”
在科学发达的今天，伦敦的住宅区就无法找到门牌号为13的公寓。影剧院里也没有第13排。宴席上第13个位置总是摆着一张独特的桌子。
在第十四届世界杯足球赛上，阿根廷足球队开始战绩不佳，后来他们战胜前苏联队，队员们兴奋之余纷纷说：
“我们教练在这场比赛中，没让13号上场是英明的决策。”原来比赛那天正好是1990年6月13日，阿根廷队忌讳13这个不祥的数字，教练比拉尔多为了稳定军心，忍痛让主力后卫13号洛伦索坐在替补席上，不让他上场。
为什么人们对13这个数如此回避呢？说法很多。
有一种说法是：我们现在通用的十进制是以数10作为基础的，可是在古罗马则是采用十二进制算法的。到后来，把12作为“一打”的计算方法为欧洲许多国家所采用。因此，12成了家喻户晓的进位制的殿军。这样一来，人们对12以后的数就产生一种莫名其妙的感觉，以致认为13这个数是个不祥的数，是个危险的数，所以后来人们就忌讳使用这样的数。
老师的生日
小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，两人都不知道。张老师的生日是下列10组日期中的一天，他把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗。
小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道。
小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了。
小明说：哦，那我也知道了。
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天。
3月4日，3月5日，3月8日，6月4日，6月7日
9月1日，9月5日，12月1日，12月2日，12月8日
[答案：由10组数据3月4日，3月5日，3月8日，6月4日，6月7日，9月1日，9月5日，12月1日，12月2日，12月8日可知——4日、8日、5日、1日分别有两组，2日和7日只有一组。如果生日是6月7日或12月2日，小强一定知道（例如：老师告诉小强N=7，则小强就知道生日一定为6月7日；如果老师告诉小强N=4，则生日是3月4日还是6月4日，小强就无法确定了。）所以首先排除了6月7日和12月2日。
1.“小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道”——老师告诉小明的是月份M值，若M=6或12，则小强有可能知道（6月7日或12月2日）这与“小强肯定也不知道”相矛盾，所以不可能为6月和12月。从而老师的生日只可能是3月4日，3月5日，3月8日，9月1日，9月5日。
2.“小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了”——若老师告诉小强N=5，那么小强无法知道是3月5日还是9月5日，这与“现在我知道了”相矛盾，所以N不等于5.则生日只能为3月4日，3月8日，9月1日。
3.“小明说：哦，那我也知道了！”——若老师告诉小明M=3，则小明就不知道是3月4日还是3月8日。这与“那我也知道了”相矛盾。所以M不等于3，即生日不是3月4日，3月8日。
综上所述，老师的生日只能是9月1日。]
巧胜扑克牌
现有扑克牌智力题如下：
甲方：1个2，3个K，3个J，2个9，2个7，2个6，2个5，2个4，1个3
乙方：2个A，2个10
规定：由甲方先出，先出完者为胜。规则符合一般出牌规则，此外可出三带双（如：3个J带2个4），但不可出三带一（如：3个K带1个3）。可出五连顺（34567），但不可出四连顺（如：4567）。也不可出连对（如：4455等）。
问甲方如何胜出？
[答案：甲先出3，然后将对子全都拆开单出，直至乙拆开一个对子。如果拆的是10，则用J或者K管，如果拆的是A，则用2管。然后一直出对，乙必定会剩下一个单张。（如果有3个K或者3个J存在，记得留下一个对子三带二）]
紧急手术
一所乡村医院接到了一个从传染病区送过来的患有急性肠炎的病人。三位医生轮流上阵给这位病人做手术。因为当时有瘟疫的存在，任何人都有可能带有病毒，所以这个病人和三位医生之间，以及三位医生之间都不能有直接或间接的接触，以防止感染。但是，此时医院里只剩下了两双消过毒的手套，怎么做才是最安全的呢？
[答案：最安全的步骤如下：
第一个医生戴上两双手套，上面套的第二双手套的外面接触到病人；第二个医生戴上刚才第一个医生套在外面的手套，这样仍是这双手套的外面接触到病人，而且他没有和第一个医生有接触；第三个医生把第一双手套翻过来戴在手上，他不会接触到第一个医生接触到的那一面。然后他再套上第二双手套，这样，接触到病人的仍是第二双手套的外面。这样，三个医生之间以及医生与病人之间都没有接触，所以是最安全的。]
贴纸条猜数字
一个教逻辑学的教授，有三个学生，都非常聪明，一天教授给他们出了一道题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个数！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的数。）
教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能；问第二个，不能；第三个，还是不能；回头再问第一个，不能；第二个，不能；第三个：我猜出来了，是144！教授很满意地笑了。请问您能猜出另外两个人头上贴的数是什么吗？请说出理由！
[答案：答案是36和108.
首先说出此数的人应该是两数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出（当然，这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡。）
另外，只有在第三个人看到另外两个人的数一样时，才可以立刻说出自己的数。
以上两点是根据题意可以推出的已知条件。
如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案，这就需要进一步考虑：
A：36（36/152）B：108（108/180）C：144（144/72）
括号内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：
A、B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72的条件下，会这样推理——“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是错的，自己的数只能是144！]
分享美酒
四个酒鬼合伙买了两桶8斤装的酒，他们打算平分喝掉这些酒。但是他们手上没有量具，只有一个可以装3斤酒的空酒瓶。如何用这3个没有刻度的容器，让四人平分这些美酒呢？
[答案：两个8斤装的桶分别设为1号和2号，3斤的空酒瓶设为3号，四个人设为甲、乙、丙、丁。16斤的酒让4人平分，每人应分到4斤，现在开始分酒：
1.用1号的酒把3号倒满，让甲喝掉3号里的3斤，然后再把1号的酒倒入3号，让乙喝掉1号剩下的2斤。这时1号容器是空的，2号、3号都是满的。甲喝了3斤，乙喝了2斤，丙、丁都没喝。
2.把3号里的3斤倒入空的1号里，接着把2号里的酒倒入3号，3号再倒入1号，再把2号里的酒倒入3号，3号里有3斤，而1号只能再倒2斤，当1号倒满时，3号里剩下1斤，这样1号是8斤，2号是2斤，3号里剩下1斤。3号里的1斤让丙喝。
3.把1号倒入空的3号，再把2号倒入1号，这样1号里是7斤，3号是3斤。接着把3号倒入2号，把1号倒入3号，3号再倒入2号，1号再倒入3号，这时1号有1斤，2号有6斤，3号有3斤，1号的1斤让丁喝。
4.用3号把2号倒满，这样3号剩下1斤，让甲把3号喝掉（甲喝了3 1=4斤）。这时1号和3号是空的，2号是满的，在把2号倒入3号，让丙把3号喝掉（丙喝了1 3=4斤）。
5.再把2号倒入3号，这时2号里有2斤，3号里有3斤，让乙把2号喝掉（乙喝了2 2=4斤），丁把3号喝掉（丁喝了1 3=4斤）。
如此下来，四个人都喝足了4斤酒。]