陈景润，1933年生于福建省福州市一个邮政职员的家庭，母亲是一个家庭妇女。在6个兄妹中，陈景润排行老三。由于家庭人口多，家境比较贫寒，自从来到这个世界，就没有享受过多少童年的快乐，也使他养成了内向的性格。
抗战胜利后，陈景润进了英华书院。在这里，他对数学产生了浓厚的兴趣，当他听到知识渊博的老师讲哥德巴赫猜想的故事：“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠”时，即对充满奇妙问题的数论产生了浓厚的兴趣。
福建解放后，1950年，陈景润考入厦门大学。因成绩特别优异，于1953年提前毕业分配到北京的一所中学当老师，由于他性格内向，身体又不好，学校领导对他非常不满。为此，厦门大学校长王亚南把他调回厦门大学图书馆当了一名管理员，有意让他专心致志地研究数学。在厦门大学，陈景润没有辜负老校长的企望，在精深地钻研了华罗庚的《维垒素数论》和《数论导引》后，写出了数论方面的专题文章寄到中国科学院数学研究所。华罗庚看到这些散发着英气和奇光异彩的文章后，犹如当年熊庆来发现自己一样，华罗庚将陈景润选调到数学研究所当实习研究员。对此，当时流传着一种说法：熊庆来慧眼认罗庚，华罗庚睿目识景润。
1957年的数学研究所已经是人才济济了。此时，华罗庚做出了战略性的部署，在侧重于应用数学研究的同时，也组织力量向皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想挺进。陈景润进入数学所犹如鱼儿进入海洋一样，他选择了向哥德巴赫猜想进军的艰难之路。
何为哥德巴赫猜想？即1472年哥德巴赫写信给数学家欧拉时提出：每个不小于6的偶数都是二个素数之和。例如6=3+3，28=17+11等等。对此，有人对一个一个的偶数都进行了验算，一直验算到33000万个数，都表明是对的，但是更大的数目，更大更大的数目呢？猜想起来也该是对的。猜想应当证明，要证明它却很难很难。直到20世纪20年代，问题才有了点儿进展，人们把这个问题最后归结为：每一个大偶数是二个“素因子不太多的”数之和。他们想这样子来设置包围圈，由此来逐步、逐步证明哥德巴赫这个命题一个素数加一个素数（1+1）是正确的。
到1920年，数学家布朗证明了每一个大偶数是一个“素因子都不超过九个的”数之和，九个素因子之积加九个素因子之积即（1+9）是正确的。到1958年，我国数学家王元又证明了（2+3）。包围圈越来越小，越来越接近（1+1）了。但是以上证明都有一个弱点，就是其中的两个数没有一个是可以肯定为素数的。
到了数学所，正是陈景润展示才华的地方，他开始频频地向科学的顶峰发起冲击。1962年，经过整整10年不间断地积累和准备，陈景润发表了20多篇高水平的论文，开始向哥德巴赫猜想进军了。为此，他废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴，进行了大量的运算。
由于他一心一意地搞研究，全然忘却了世界上还有其他喜怒哀乐。有一次，他正边走路边思考，不小心撞到一棵树上，还责问是谁撞了他。
他把全部的心智和理性统统贡献给了这道数学难题，虽然多种疾病缠身，但他仍在抽象思维的峭壁上攀登，无知的嘲讽钻进他的耳道，他全然不顾。就这样，一道道题的运算，大量的数字、符号、引理、公式、逻辑、推理，跃然在一张又一张的纸上。
终于，功夫不负有心人，经过3年多的苦战，到了1966年，陈景润终于在哥德巴赫问题的研究上取得了前人未曾取得的成果——成功地证明了“任何一个大偶数都可以表示为一个素数和不超过两个素数乘积之和”，即证明了（1+2）。1966年5月，陈景润在《科学通报》第17期上以简报的形式发表了他的证明结果。但由于证明过程太长，无法公布厚达200多页的手稿。为此，陈景润又开始了简化和改进复杂的运算方法的新攀登。
在进行新的漫长的攀登过程中，正值中国史无前例的“文化大革命”的高潮时期，陈景润曾经被当做修正主义苗子“安钻迷”、白专道路的典型、寄生虫、剥削者而受到挖苦、嘲讽和批判。他所研究的哥德巴赫猜想被斥为“伪科学”。
从专政队伍出来后，陈景润为了看书，在别人总是经常拉灭他房间电灯的情况下，用煤油灯照明，就像一个地下工作者一样在一间6平方米的小房里进行着他神奇的数学运算。艰苦的条件加上长期的内心压抑，使陈景润疾病缠身。他说：“我知道，我的病已经严重起来。我是病入膏肓了。细菌在吞噬我的肺腑内脏，我的心到了衰竭的地步，我的身体确实支持不了啦！惟独我的脑细胞异常活跃，所以我的工作停不下来，我不能停止。”
肺结核和腹膜结核再次复发，使陈景润的身体极度虚弱，但他没有因此而停下，继续顽强地向着他的目标艰难地迈进！当1973年2月陈景润终于完成了（1+2）的新证明时，他的身体几乎彻底垮掉了。新华社记者采访他后，在报道中发出了紧急呼吁，陈景润“疾病严重！生命垂危！”这一报道引起了各方面对陈景润的广泛关注，在毛泽东的亲自关怀下，陈景润被送到医院进行治疗。
1973年，《中国科学》发表了陈景润新证明的著名论文“大偶数表为一个素数及不超过两个素数的乘积之和”。
他的证明在国际上引起了强烈的反响，国际数学界为之轰动，被公认为是对哥德巴赫猜想的重大贡献，“是筛法理论光辉的顶点”，并被国际数学界称为“陈氏定理”。他的突破性研究，深深地影响了国内学术界的沉寂状态，为推动学术繁荣做出了极大的贡献。为此，陈景润还被当选为全国四届人大代表。
粉碎“四人帮”后，1977年10月3日，新华社播发了陈景润证明了（1+2）的报道：1978年，他被破格晋升为研究员。1978年至1979年先后到美国、法国及英国讲学，受到国际数学界的好评。1980年他当选为中国科学院学部委员。1982年获国家自然科学一等奖。1988年提升为一级研究员，并任《数学季刊》主编、国家科委数学小组成员及厦门等6所大学的兼职教授。1978年，他出席了全国科学大会，走上主席台向大会做了典型发言。
在荣誉地位面前，陈景润看得很淡，在追求事业的执著上，陈景润看得很重。为了追求自己的理想，他长期忍受着常人难于忍受的痛苦。无论是在“文化大革命”中遭受批斗打击的时候，还是在积劳成疾，为肺病、帕金森氏综合征所折磨的日子里，或者在得到荣誉和地位的时候，他都没有停止过数论研究工作，都亲自辅导博士研究生和硕士研究生，并取得了其他许多研究成果。
由于长期的劳累和疾病，这颗世界数学界的明星于1997年离开了他钟爱的研究工作，离开了他日夜坚守和跋涉的阵地，年仅64岁。