这就是开始提出的问题,已得到了解决。
解决这类问题有没有一个一般的公式呢?有!下面我们就来推出这个公式,以后再求这类问题时,只要代入公式就可以了。
如果用n条直线分割平面,那么平面最多被分成Sn=1+1+2+3+4+5+…+(n-2)+(n-1)+n=1+(n+1)n2=12(n2+n+2)个部分。
用这个公式,计算二十条直线分割圆面,那么圆面最多被分成S20=12(202+20+2)=211个部分。
上面推导一般公式的过程采用的是不完全归纳法,更严格地证明需要利用数学归纳法,这到高中才能学到。上面的问题可以归结为用数学归纳法证明以下的命题:
平面内有n条直线,其中任何两条都不平行,而且任何三条都不经过同一点,那么这n条直线将平面分成12(n2+n+2)个部分。
猜球
猜球大约是所有逻辑推理中最为简单的了。三个袋子,每个袋子各装两个球,分别是“白白”、“白红”、“红红”。袋子外面贴有球色的标签,但全部贴错。你只能从某个袋里取出一个球,便能判断各个袋里装的是什么球吗?别看这道题只有几个球,可因素间的信息却相当丰富。为了弄清其间的关系,我们列出以下的双向表。为便于分析,我们模仿坐标的写法,用〔p、q〕表示表中第p行第q列的格子。格中用“+”号,表示相应的关系存在;格中用“0”号,表示相应关系不存在。阴影部分表示相应的关系,根据题意无需考虑。右表的对角线格子画阴影,是因为题中指明所有的标签都贴错。
从对称关系读者猜想得到,必须从标有“白红”标签的袋子中去取球。假令取出的是白球,则可立即断定此时袋中实际装着两个白球。即〔2,1〕=“+”。以下的推理是:
〔1,1〕=“0”〔2,1〕=“+”→〔3,1〕=“0”〔2,1〕=“+”〔2,2〕=“0”→〔2,3〕=“0”〔3,3〕=“0”→〔1,3〕=“+”〔1,3〕=“+”〔1,1〕=“0”→〔1,2〕=“0”〔2,2〕=“0”→〔3,2〕=“+”于是,我们得到了如下因素实际关系表。从左表中可以看出:标有“红红”标签的袋中,装的是“白红”的球;而标有“白白”的袋中,则实际装着“红红”的球。
美的密码
0618!这一再出现的神秘数字,终于引起人们的关注。数学家们开始探索这一神奇数字的真正含义!“庐山真面目”的揭开,还得从毕达哥拉斯的那句名言讲起:
假定C是线段AB的一个分点。为了使C满足毕达哥拉斯所讲的“部分与部分及部分与整体之间的协调一致”,显然必须:
AB∶AC=AC∶CB令AB=1,AC=x,则1∶x=x∶(1-x)x2+1x-12=0解得x=5-12(x>0)ω=x1=5-12≈0618瞧!“美的密码”终于露面了!我们伟大祖国的五星红旗是多么庄严美丽啊!可是,你是否知道,那上面的正五角星中,包含着许许多多“美的密码”呢?由于美的密码有许多极为宝贵的性质,所以人们称0618为“黄金比值”;而导致这一比值的分割,便称为“黄金分割”;C点则称线段AB的“黄金分割点”。一个矩形,如果两边具有黄金比值,则称这样矩形为“黄金矩形”。
黄金矩形的性质也很奇特,它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组成。事实上,如果设大黄金矩形的两边a∶b=ω,分出一个正方形后,除余小矩形的两边分别为(b-a)和a,它们的比:
(b-a)∶a=b2-1=1ω-1=15-12-1=5-12=ω这表明小的矩形也是黄金矩形。
黄金矩形的上述性质,允许我们把一个黄金矩形分解为无限个正方形的和!上图表明了这种分解的过程。有趣的是,这个过程可以用下面的算式表示出来:
ω=ab=aa+(b-a)=11+b-aa=11+ab=11+11+ab=-11+11+11+11+…
所得的是最为简单的连分数。
容易看出,上图大矩形中各正方形的角点形成两条直线。一条是大矩形的对角线,另一条是小矩形的对角线。这表明这一系列正方形,构成了无穷递缩等比数列!“黄金比值”这一美的密码,一经被人掌握,立即成为服务于人类的法宝。艺术家们应用它,创造出更令人神驰的艺术珍品;设计师们利用它设计出巧夺天工的建筑;科学家们在科学的海洋尽情地欢奏0618这一美的旋律!今天,一位风姿卓约的女报幕员出台亮相时,她们并不站立在舞台的中央,而是让自己处在舞台的黄金分割点。因为这样的位置,可以给观众造成一个更加完美的形象!最令人诧异的是:人体自身美,也遵循着0618的规律!人们测量了爱神维纳斯和女神雅典娜的雕像,发现她们下身与全身的比近乎为0618。而据大量的调查资料表明:现今的女性,腰身以下的高度平均只占全身的058。因此不少女子,穿上高跟鞋,以求提高上述比值,增强美感。芭蕾舞演员则在婆娑起舞的时候,总是踮起脚尖,以图展现0618这一美的旋律!难怪今天文明的人类,对芭蕾舞艺术如此之动情和欣赏!黄金比值,这一造福人类的数字,诚如十七世纪德国天文学家开普勒所评价的那样:“是几何学的一大宝藏”!
狼羊渡河
学会在一张复杂的图上找出最好的一条路,往往可以帮我们解决许多问题。比如,一个人带了一只狼、一只羊和一筐白菜,要过一条河。可是船太小,一次只能带一样东西过河。如果他不在,狼要吃羊,羊要吃白菜。问他应该怎样摆渡?这个问题,就可以转化成为在图上找出一条道路的问题。
为了简便起见,我们用R、L、Y和B表示人、狼、羊和白菜。R、L、Y、B最初都在河的这边,用RLYB表示。如果人把羊带到对岸,留在河这边的狼和白菜用LB表示,并且把RLYB画一个箭头指向LB。O表示河这岸什么也没有了。
从上图可以看出两种解决方案:
RLYB→LB→RLB→B→RYB→Y→RY→O;RLYB→LB→RLB→L→RLY→Y→RY→O。
用话来说,前一个方案是:
1,把羊带到对岸(这岸剩下LB);2,人回到这边(这岸变成RLB);3,把狼带到对岸(这岸剩下B);4,把羊带回来(这岸变成RYB);5,把白菜带到对岸(这岸剩下Y);6,空人回到这岸(这岸变成RY);7,把羊带到对岸(这岸成为O)。
一则广告
这天,智慧哥哥与聪聪出去玩,走在街上,一则广告吸引了聪聪:
好消息空瓶换酒为方便顾客,三个空啤酒瓶可换一瓶啤酒。
本店启“嘿,真新鲜,空啤酒瓶可以换啤酒。”想到爱喝啤酒的爸爸,聪聪对商店的这条措施赞赏极了。
智慧哥哥也觉得这条广告挺有意思。他想了想后问聪聪:“如果有10个空瓶,能够换到几瓶酒呢?”“能换3瓶酒。”聪聪不假思索,脱口而出,他觉得这个问题太简单了,3个空瓶换1瓶酒,9个空瓶换了3瓶酒,还剩下一个空瓶就是了。
智慧哥哥冲他摇摇头,说:“你好好想想。”聪聪想了一会儿又说:“可以换4瓶酒。”智慧哥哥让他说说理由,聪聪说:“有10个空瓶,先用9个换回3瓶酒,还剩下1个空瓶。酒喝完后再用3个空瓶去换一瓶酒,因此可以换到4瓶酒。”智慧哥哥说,还可以多换,并提示聪聪说:“如果把换回的第四瓶酒也喝完了,还有几个空瓶呢?”“还有两个空瓶。”聪聪回答。
“这两个空瓶能不能利用呢?”智慧哥哥问。
聪聪蓦地想到,有一次生病,想喝汽水,商店里卖汽水却一定要收瓶,否则不许带走。妈妈跟邻居借了一个空瓶买回汽水,喝完又把空瓶还给邻居家。这件往事启发了聪聪。
聪聪说:“再跟朋友借一个空瓶,这样就可以凑足3个空瓶,换回1瓶酒,酒喝完后再把空瓶还给人家。这样用10个空瓶就可以喝到5瓶酒了。”智慧哥哥说:“其实,道理很简单,你看。”说着,写出两个式子:
3个空瓶=1瓶酒=1个空瓶+1瓶的酒,2个空瓶=1瓶的酒。
“因此,10个空瓶的价值应该相当于不包括瓶的5瓶酒。”“原来是这样,真有意思。”聪聪说。
同一天过生日的人
在研究组合问题时,我们有一些最基本的原理,其中最重要的是抽屉原理。抽屉原理也称为鸽洞或鸽笼原理,它非常简单,但是却很有用处。
鸽笼原理最简单的形式是这样的,如果要把n+1只或更多的鸽子放进n个鸽笼子里,那么至少有一个鸽笼中有两只或两只以上鸽子。值得注意的是,把n+1只鸽子放进n个笼子里的办法有许多,我们可以把n+1只鸽子都放在一个笼子中,也可以每个笼子放一只,最后一个笼子放两只。因此,我们的兴趣不在于怎样放法,而是用来证明一些情况的存在性。例如,一个生日宴会上有400人参加,那么一定有不少人同一天过生日,因为一年有365或366天,但是究竟这400人都是一天过生日,还是没有一个当天过生日(假定过生日的主人不在400人之内),鸽洞原理并不能判断。这个看来用处不大的原理能解决不少问题。举例讲,一个边长为1的正方形内最多能找到几个点,使这些点之间的距离大于12。碰到这类问题,虽然可以凑出来答案,但是要严格证明,却需要鸽洞原理。方法是把正三角形三边中点作一个小的正三角形,这样正三角形分成四个小三角形,这四个小三角形中点的关系有两方面:
(1)如果两个点在不同的小三角形中,则这两点的距离可能大于12,当然也可能等于或小于12。
(2)如果两个点在同一个小三角形中,则这两点的距离一定小于12。
现在我们有4个小三角形,如果有5个点,那至少有一个小三角形中有两个点,它们之间距离小于12。因此,我们在正三角形之内最多只能找到4个点它们彼此之间的距离大于12。
同样在这个正三角形中,最多找到9个点,它们彼此之间距离大于13,类似我们还可以解决更一般的问题。
都认识或都不认识
拉姆赛是位英国的天才科学家,他只活了26岁,却对数理逻辑和经济学做出不可磨灭的贡献。而作为研究逻辑的副产品,以他命名的拉姆赛理论已成为组合理论乃至数学的一个重要分支,在各个领域特别是计算机科学中有着重要应用。
拉姆赛的出发点非常奇特,看起来同数学没什么关系。任何一个集会,聚会或者宴会,参加者都是四面八方来的人,两人可能相互认识或相互不认识。拉姆赛的定理是讲,如果集会的总人数等于或超过6个人,那么其中至少有3人,这3个人互相都认识或者都不认识。但是如果人数少于6人,则这种情况不一定出现。
有数学训练的人与没有数学训练的人之间的不同在于前者能把这样一个说起来模糊的问题变成为一个非常清楚的数学问题。6个人我们可以用6个点来代表,而每两人之间的关系只有两种可能。两人相互认识或相互不认识。如果两人认识,则连上一条蓝线。这样对任何情况,我们就得到一个6个点以及每两点之间的连线你如何选,那么这个图中一定存在一个三角形,它的三边都是同一颜色,或都是红色,或都是蓝色。
道理很简单,如右图,从A点出发有5条线,这5条线涂上两种颜色,无论怎样涂,至少有三条是一种颜色,其实这就是抽屈原理。假设AB,AC,AD三条边是红色,我们看BC,CD,BD这三条边,当然有这两种可能性:
一种可能是BC,CD,BD中有一条红边,例如BD是红色,那么,ABD就是全红三角形。
另一种可能是BC,CD,BD中没有一条红边,那它们都是蓝边,这样一来BCD就是全蓝三角形。
因此,不管怎么说,总有一个同一颜色的三角形。由于在我们的证明中只用到抽屉原理,所以后来由拉姆赛定理也称为广义抽屉原理。不过我们还得补充两点:如果只有五个点或更少,拉姆赛定理不一定成立。这只要找一个图,没有同色三角形。如果右图中的五边形和它中间的五角星是两个颜色,那这图中就没有全色三角形。如果多于六个点,当然拉姆赛定理一样成立。6就是存在同色三角形的最小数目,称为拉姆赛数,记作r(3,3)=6。
拉姆赛定理只不过是拉姆赛理论的出发点,它已经有了许多推广,但求拉姆赛数是一个极为困难的问题。现在只知道r(4,4)=18,也就是只有18人或18人以上的集会中才一定有四个人互相认识或互相不认识。更大的拉姆赛数尚不知道。
智辨帽色
爸爸要考一考他的四个儿子。他拿出六顶帽子,告诉儿子们,其中三顶是红的,两顶是蓝的,一顶是黄的。然后,将四个儿子按大小顺序--大儿子在前,小儿大后,排成一列。
接着他将其中四顶帽子(不让本人看见颜色)分别给四个儿子戴上,藏起其余的两顶。他开始问小儿子:“根据前面三顶帽子的颜色,你知道你戴的帽子是什么颜色吗?”小儿子想了一想,回答:“不知道。”再问三儿子:“根据前面两顶帽子的颜色和你弟弟的回答,你知道你戴的帽子是什么颜色吗?”三儿子也回答:“不知道。”同样问二儿子,回答仍是不知道。最后问大儿子。大儿子思索了一阵以后,说出了自己戴的帽子的颜色。爸爸肯定了这个答案。
你说,这个答案是什么?大儿子是怎样判断的?大儿子戴的是红帽。分析如下:
小儿子前面三个哥哥所戴帽子的颜色有下列六种可能:
红红红红红蓝红红黄红蓝蓝红蓝黄蓝蓝黄小儿子回答说不知道,说明他前面的三顶帽子不可能是“蓝蓝黄”。不然的话,他应立即判断出自己戴的帽子是红的。
三儿子前面两个哥哥所戴帽子的颜色有下列五种可能:
红红红蓝红黄蓝蓝蓝黄三儿子听了弟弟回答后,再说不知道,说明他前面两个哥哥所戴帽子不可能是蓝蓝与蓝黄。
不然,他应立即判断自己戴的帽子是红的。
二儿子前面的大哥哥所戴的帽子颜色有三种可能:
红蓝黄二儿子听了两个弟弟回答后,仍说不知道,说明前面的大哥哥所戴的帽子不可能是蓝的或黄的。不然,他应立即判断自己戴的帽子是红的。
大儿子听了三个弟弟都说不知道,于是判断自己戴的帽子不可能是蓝的或黄的,只能是红的。
一眼看不出的题目
“快来,快来!”张业在老远的地方就向我招手。
我走了过去,他打手中的《计算机》杂志,指着角落上一个地方说:
“你看,有多荒唐!”我伸头一看,也感到很诧异,那上面写着:
THREETHREE+)FOURELEVEN按英文译意是:3+3+4=11。这是哪一国的算术呢?“哦,不急,”我把下面的英文概述读了一遍,“张业,你没有继续看下文,这是一个字谜,它给的条件是:(1)式中的每一个字母都表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的某一个数字,不同的字母表示不同的数字;(2)T=\0,F=\0,并且已知E=1,U=9,要求读者说出当式中各字母分别代表什么数字的时候,才能使这个等式成立。”于是我们席地而坐,拣了一根树枝在小道旁的泥地上画了起来。我们先把已知数E=1,U=9代入原式:
THR11THR11+)FO9R1L1V1N由算式看出,个位数之和向十位数无进位,十位数之和向百位数进位为1,并由个位数知:
R=\1(因已有E=1),R=\7(否则会N=9,但已知U=9),R=\8(否则就有进位),R=\9(因U=9),所以R只能在0,2,3,4,5,6中取值。
我们就以上5个数值逐个地进行分析,淘汰不合理的,从而得到正确答案。