269和别的学科相比，数学最能把灵魂引导到真理。军人必须学会它，以便统帅军队。哲学家也应学会它，否则永远不会成为真正的计算者，无法脱离可变世界，乃至无法把握真理。我们的护卫者既是军人又是哲学家。我们应当劝说那些将来要身居要位的人学习算术，这不是为了做买卖，不是要把纯数当做可见物体或可触物体的数目去对待，而是为了将灵魂从可变世界引领到可知世界，无论在战时还是和平年代，都能看到真理。并且，他们的学习不能点到为止，而是必须深入钻研，直到他们能用纯粹的理性看到数的本质，并通向真理本身。
270任何可见事物都不可能含有真正的知识。真实是最神圣的部分，灵魂一定要努力看清。迫使灵魂转向真实的学问才是有用的。如果一门学问只能让灵魂看到生生灭灭的可变世界，它就无用。
271几何学也要学。它在军事上的用途是很明显的，事关安营扎寨，划分地段，作战和行军中排列队形。不过，为满足军事方面的需要，一小部分几何学和算术知识就够了。要考虑的是，几何学中占大部分的、较为高深的内容是否能帮助人们更容易把握善的理念？行家们最爱用术语表现几何的高深——诸如平方、应用、延长等等，事实上，几何学的意义恰恰与此相反，并不像世人误以为的那样只在实际应用方面。几何学纯粹是为了知识，其对象是永恒事物，而非时生时灭之物，因此，几何学能把灵魂引向真理，或许能使哲学家的灵魂转向上层。讨论了平面之后，还应从第二维依次进到第三维——即立方体，以及一切具有厚度的事物所具有的，如此说来，立体几何学是很有趣味的。
272每个人的灵魂里都有一个辨认真知的器官，即便被习惯毁坏了，迷茫了，之后也能重新除去尘垢，恢复明亮。维护这个器官，比维护一万只眼睛还重要，因为它是唯一能看得见真理的器官。
273接下来，要把天文学定为第四门功课，它研究的是运动的立体事物，对年、月、四季有较敏锐的理解，不仅对农事、航海有用，对行军作战也一样有用，但这只是功利主义的学习。天体装饰着天空，虽然是可见事物中最美、最准确的一种存在体，但由于它们是可见的，所以远不及真知本身。真实，仅能被理性和思考所把握。因此，天空的图画只能用作帮助我们学习其实在的说明图。
274一个真正的天文学家在观察天体运动时，不会误以为自己看到了真理。没有一种恒常的、绝对不变的比例关系存在于日夜之间、日夜与月、月与年之间，因为它们全都是物质性的、可见的，在其中寻求真实只能是荒谬的。要真正研究天文学，并正确地使用天赋理智的话，我们就应该像研究几何学那样来研究天文学，提出问题，解决问题，不要只管观测天空中的可见物。
275运动有多种。除了天文学，还有和它成对的学问。假如说眼睛是为天文学而存在的，耳朵则是为和谐的声音而造的。和谐的声音也是一门值得研究的学问，好比是天文学的兄弟学科。但是，如今很多研究者也在重复研究天文时的毛病，辛苦去听音，再比量可听的音，这同样很荒谬，他们就知道谈论音程，有的说能分辨出两个音之间的另一个音来，说它才是一个最小的音程，是计量单位；另一些人则坚持说这些音没什么不同；还有些知名的音乐家最喜欢拷打琴弦，简直像是把它们绞在弦柱上拷问，直到它们透露什么真相为止；他们寻求可闻之音之间的数的关系，却从不深入考察什么关系是和谐的，什么是不和谐的，又是为什么？总之，如果他们宁愿用耳朵，却不愿用心灵，这种研究终将止步于可见世界，无法上升到真知的境界。
276深入研究这些学科，直到能弄清它们的相互联系和亲缘关系，得出总的认识，做出逻辑的论证，那时，我们对这些学科的辛勤研究才算有个结果，才能获得知识，否则都是白费辛苦。一个人为了达到每一事物的本质，试图靠辩证法，通过推理而不管感官的知觉，并一直坚持到仅靠思想理解善的本质，他就达到可知世界的顶峰了。这番思想的跋涉，就叫做辩证的过程。
277一切技术科学都是为了满足人的意见和欲望，或是为了事物的产生和制造，或是为了在事物产生或制造出来之后照料它们。比如几何学，虽然能在假设中略微触摸到知识的存在，但也只是梦似一般的瞥见，只要几何学原封不动地使用假设，就无法清醒地看见真知的绝对存在。因为，既然几何学的前提是未知的，结论，包括达到结论的中间步骤就都是由未知物组成的，在这种情况下，无论如何也不能达到切实的结果，更不用说真知了。我们习惯把几何学、天文学等学科称为一门一门的知识，实际上，这种名称并不算最准确。“理智”这个名称就很适合，比意见明确些，但比知识模糊些。
278只有辩证法有能力让人看到实在，也只有学习过我们所列举的那些学科的人能看到它，别无他法。辩证法是唯一的研究方法，能够不用假设而一直上升到第一原理本身，在那里找到可靠的根据。当灵魂的眼睛陷入了无知的泥沼时，辩证法能轻轻地把它拉出来，引导它向上，同时用上述的科目帮助我们完成这个转变过程。辩证法像拱顶石一样，要被放在我们教育体制的最上头，没有别的科目能跃其而上。
279知识和理智，可以称作理性，是关于实在的。信念和想象，可以合称为意见，是关于生灭可变的世界的。理性和意见的关系，就像实在和可变世界的关系。和这四种（或称两种）灵魂状态对应的事物之间的关系，可以称作能理知的部分、能意见的部分。
280当下的哲学家名不副实，因为当前的做法有误，以至于产生对哲学的广泛性的轻蔑。说真的，有志于哲学者必须有全面的素养，身心健全，就算碰到自己觉得辛苦的事，也不能逃避或拖沓，比如说，真正的哲学家不能半心爱劳动，半心怕劳动，或是喜爱打猎、角斗和高强度的体能运动，却不爱学习、听讲、研究各种智力劳动。其次，真正的哲学家应该有健全的灵魂，因为人的灵魂也会有残疾，比如说，有人嫌恶有意的虚假，不能容忍自己这样，看到别人虚言假意也会生气，另一方面，却又心甘情愿地允许无意的虚假，当暴露出自己缺乏知识时也不着急，若无其事地对待自己的无知，就像猪在泥水中打滚一样。倾心于哲学的人，无论如何都不该有这种灵魂上的偏颇，更不能放任自己的无知。
281就如哲学家有真伪之分，我们也必须谨慎地区分节制、勇敢、宽容以及各种美德的真伪。因为，如果个人或国家缺乏知识，无法辨别真假，就会无意中错用某个灵魂的跛子或是道貌岸然的假好人，还信任他做自己的朋友，甚至国家的统治者，如此一来，我们就将使哲学遭到更大的嘲弄。
282我们从前总是选举老年人，相信老人阅历深厚，也相信人能活到老，学到老。然而，千万不能轻信这种说法。人老了不能多奔跑，更不能多学习。只有年轻力壮时才能堪负一切辛劳坚苦的事，尤其是算术、几何以及一切学习辩证法之前必须学完的预备性科目，必须趁着年轻时去学，早一点打下坚实的基础。
283任何自由人都不该被迫学习。身体上的被迫劳累对身体无害，被迫进行的学习也不能在心灵上生根。因此，请不要强迫孩子们学习，要寓教于乐，还能在游戏中更好地了解每个人的天性。此外还要记住，极度的疲劳，长时间的嗜睡，都是对学习有弊无利的。
284有些孩子能在艰苦的身体锻炼和智力学习中表现突出，甚至在恐怖的战争中也是最能干的，我们认为，应当在必要的体育训练刚刚完成时，就把他们遴选出来，让他们从二十岁起就得到更多的荣誉。然后，这些坚定不移的青年就要接受第二次选拔，教育家将要求他们把小时候学习的各种课程内容综合起来，研究学科间的相互联系，以及它们和事物本质的关联——这是获得永恒真知的唯一途径，也是检验有无辩证法天赋的试金石。能在联系中看事物的就是辩证法者，否则就不是。选出这些最富天赋的青年，在他们年满三十的时候给以更高的荣誉，并用辩证法考试他们，看哪些人能不用感官而跟随真理达到纯粹的实在。
285搞辩证法的人违反法律，这是当前搞辩证法引发的一种恶果。什么是正义的？什么是光荣的？当一个人遇到这类问题，用立法者教导的道理去回答时，他就会在辩论中遭到反驳，因为世间泛滥着与正义和光荣背道而驰的习惯和风尚，都能给人浅薄的快乐，因而对灵魂有蛊惑力和吸引力，哪怕它不能征服正派人。当一个人多次被驳倒时，有关正义、善以及一切他所尊重的观念都遭受同样的驳斥时，他的信念就会动摇，不再觉得必须尊重、恪守以前的信条，但又尚未找到真理，无法在理性上抵御那些世俗陋见，他就很可能倒戈投降，趋向那些蛊惑他的生活方式，就这样，由守法者变成违法者。这种结果是可原谅的，但更是可悲的。
286若你不想可怜那些三十岁的学生，就必须非常谨慎地引导辩论，别让他们年纪轻轻就去尝试。这是很重要的预防之策。年轻人一开始辩论，觉得好玩又刺激，就热衷于跟人辩论，模仿别人的互驳，自己也跃跃欲试，伶牙俐齿不饶人。当他们多次驳倒别人，自己又多次被驳倒时，便会很快陷入困惑，对曾经的是非观产生怀疑，结果，损坏了自己和整个哲学事业在世人心目中的信誉。年龄大些的人就不至于这样疯狂迷恋于辩论活动，他们会知道分寸，只肯效法为寻找真理而进行辩驳的人，而不会为了磨嘴皮子而辩论。他能使他研究的哲学信誉提高。所以，我们要求参与辩论的人必须具有坚定品格，不能不加以选择和约束。
287学完辩证法之后，还得派这些人才回到虚妄、残酷的现实中去，如同回到洞穴中。我们要强迫他们指挥战争或执行其他公务，让他们在实际经验方面不逊于他人。也以此为考验，看他们在各种诱惑面前是坚定不移还是畏缩、变节。这个过程暂定十五年。到五十岁，在学识和实践各方面都表现优异的人，必须接受最后的考验： 我们将要求他们把灵魂转向最上层，注视善的本身，用它做原型，管理好国家、公民和自己。剩下的岁月里，他们大部分时间研究哲学。只有轮到值班时才需要照料国政，不辞辛苦，为了城邦利益的必要而非荣耀，走上统治者的岗位。直到他们培养出了合格的继承人，可以取代他们治国安邦时，他们才能辞去职务，定居乐土，那时候，国家将为他们建立纪念碑。
288我们关于国家和政治制度的论断并非全属空想，实现起来固然很难，但还是可能的： 只要让真正的哲学家掌握国家政权，无论一人或多人，也无论男性或女性。他们会把今人看重的功名利禄都看做是下贱的、无价值的，只看重正义以及由正义而得到的光荣，促进和推崇最重要也最必要的正义，使城邦走上正轨。他们将从十岁以上，有公民身份的孩子开始培养，改变他们从父母那里接受的生活方式，用他们制定的法律培养他们成人。为了让理想国建立并昌盛，能给人民带来最大福利，这将是最便捷的途径。
289除了理想国，还有四种政制，按照荣誉高低与益处多少来说： 第一种，斯巴达和克里特政制；第二种，寡头政制，是少数人的统治；第三种，民主政制，是接着寡头政制之后产生的，但与之相反的；第四种，是前述三种都不同的僭主政制，对城邦来说无异于最后的祸害。其他的政制还有： 世袭的君主国，买来的王国，及其他介于其间的各种类似的政治制度。有多少种政制，就有多少种人性，毕竟，政治制度不是从木头或石头里蹦出来的，而是从城邦公民的习惯里产生出来的。习惯的倾向决定其他一切的方向。不如说，制度是由习惯产生的。
290与贵族政治或好人政治相应的人是善和正义的。相应于斯巴达政制的，是好胜又好荣誉的人。与寡头政制相应的是寡头分子。与民主政制相应的是民主分子。与僭主政制相应的是僭主。我们先来考查国家制度中的道德品质，再考查个人的道德品质，因为国家的品质比个人品质更容易被看清楚。
291政治制度的变动全都是由领导阶层的不和而起的，如果他们团结一致，哪怕不是全体一致，政治制度也不可能变动。这是显而易见的结论，但是，理想国会起动乱吗？统治者会不会同室操戈呢？如果会，第一次内讧是怎样发生的呢？一个建立得如此完善的国家，要动摇它、颠覆它当然是不易的。但是，一切事物都有生灭，社会组织结构也不可能永久，解体是必然的。
292灵魂和躯体都有生育的有利时节和不利时节。我们为城邦培训的统治者固然是智慧的，但他们也不能永远准确无误地为种族选定生育的好时节，有时也会弄错，在不是生育的好时节里让新郎新娘结了婚，生育的子女就不会是优秀的。人们从这些后代中选拔最优秀者来治理国家，不过是矬子里拔高。当他们执掌了父辈的权力，成为护卫者时，便会因为天性或教育的不完美而蔑视理想国最初的准则： 先是轻视音乐教育，然后轻视体育锻炼，以致年轻人愈来愈缺乏教养。这样的统治者已经丧失了真正的护卫者的能力，不能再分辨金种、银种、铜种和铁种。而铁和银、铜和金一经混杂，便产生了不平衡。哪里有不一致、不和谐，哪里就必有仇恨乃至战争。
293冲突一旦发生，统治者内部的两种集团就会分道扬镳： 铜铁集团趋向私利，兼并土地房屋，敛聚财富；金银集团肯定趋向美德、智慧和传统秩序，因为他们灵魂里已有宝藏。两个集团相互斗争，然后取得某种妥协，开始分配资源，把土地房屋转为私有，把原先的朋友和供养人变成边民和奴隶。护卫者本来是保卫公民自由，终身专门从事战争以捍卫公民安全的，现在却变成奴役、压迫他们的新主子。这种制度是介于贵族制和寡头制之间的中间制度，也就是说，在有些事情上它会像贵族制般行事，在另一些事情上又会像寡头制，是一个善恶混杂的政治制度。
294斯巴达政制中趋向贵族制的表现是： 完全不让战士阶级从事农业、手工业和商业活动，饮食用度来自公费，并且，统治者要终身从事体育锻炼、竞技和战争。趋向寡头制的表现是： 不敢让智者执掌国家权力，因为国家现有的智者已是鱼龙混杂，不再像从前那样单纯又忠诚，所以，宁可选择较为单纯的勇武之人来统率国家。